Considere os dados sobre consumo de cigarros (variável X) e mortes por câncer de pulmão (variável Y), apresentados na tabela abaixo.
País | X | Y |
---|---|---|
Islândia | 240 | 63 |
Noruega | 255 | 100 |
Suécia | 340 | 140 |
Dinamarca | 375 | 175 |
Canadá | 510 | 160 |
Austrália | 490 | 18 |
Holanda | 490 | 250 |
Suíça | 180 | 180 |
Finlândia | 1125 | 360 |
Grã-Bretanha | 1150 | 470 |
Estados Unidos | 1275 | 200 |
Calcule o coeficiente de correlação entre as variáveis X e Y, interpretando o resultado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma tabela com dados sobre o consumo de cigarros (variável X) e mortes por câncer de pulmão (variável Y) em vários países. A nossa missão aqui é calcular o coeficiente de correlação entre essas duas variáveis. Basicamente, vamos descobrir se existe uma relação entre o quanto as pessoas fumam e o número de mortes por câncer de pulmão. Para isso, vamos precisar dos dados fornecidos e entender a fórmula do coeficiente de correlação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o coeficiente de correlação. Ele é uma medida que indica a força e a direção da relação linear entre duas variáveis. O valor do coeficiente varia entre -1 e 1:
- 1: Correlação positiva perfeita
- -1: Correlação negativa perfeita
- 0: Sem correlação linear
Para calcular esse coeficiente, usamos a fórmula:
Onde:
-
é o número de pares de dados -
é a soma dos produtos de X e Y -
e são as somas de X e Y, respectivamente -
e são as somas dos quadrados de X e Y
Passo 3
Vamos começar organizando os dados e calculando as somas necessárias. Vamos montar uma tabela com as seguintes colunas: País, X, Y, X², Y², e XY.
País | X | Y | X² | Y² | XY |
---|---|---|---|---|---|
Islândia | 240 | 63 | 57,600 | 3,969 | 15,120 |
Noruega | 255 | 100 | 65,025 | 10,000 | 25,500 |
Suécia | 340 | 140 | 115,600 | 19,600 | 47,600 |
Dinamarca | 375 | 175 | 140,625 | 30,625 | 65,625 |
Canadá | 510 | 160 | 260,100 | 25,600 | 81,600 |
Austrália | 490 | 18 | 240,100 | 324 | 8,820 |
Holanda | 490 | 250 | 240,100 | 62,500 | 122,500 |
Suíça | 180 | 180 | 32,400 | 32,400 | 32,400 |
Finlândia | 1125 | 360 | 1,265,625 | 129,600 | 405,000 |
Grã-Bretanha | 1150 | 470 | 1,322,500 | 220,900 | 540,500 |
Estados Unidos | 1275 | 200 | 1,625,625 | 40,000 | 255,000 |
Agora, vamos calcular as somas de cada coluna:
Passo 4
Agora que temos todas as somas necessárias, vamos aplicar esses valores na fórmula do coeficiente de correlação
:
Substituindo os valores:
Vamos calcular passo a passo:
Numerador:
I seem to have a glitch here.
Let me recast that:
Numerador:
But the second multiplication should be precise:
Let me compute
:
Somando:
Então,
Numerador =
Denominador:
Calculando cada parte:
Para
:
Então,
Para
:
Calculando
:
( 116 \times 116 = 13, 6 \times 100 = 12,000 + 6 \times 16 = 96, total 12,096.
Então,
Wait, 2,116 squared:
Let me calculate correctly:
No, this is incorrect. Let’s do it properly:
Multiply digit by digit:
2,116 × 2,116:
First, 2,116 × 2000 = 4,232,000
2,116 × 100 = 211,600
2,116 × 10 = 21,160
2,116 × 6 = 12,696
Total: 4,232,000 + 211,600 = 4,443,600
4,443,600 + 21,160 = 4,464,760
4,464,760 + 12,696 = 4,477,456
Então,
Agora,
Agora, o denominador é:
Vamos multiplicar esses dois números:
Agora, a raiz quadrada de 36,036,138,725,550 é aproximadamente 6,002,279. Vamos arredondar para duas casas decimais: 6,002,279.00
Passo 5
Agora, vamos colocar tudo junto na fórmula:
Resposta
O coeficiente de correlação entre o consumo de cigarros (X) e as mortes por câncer de pulmão (Y) é aproximadamente 0,938. Isso indica uma correlação positiva forte, ou seja, conforme aumenta o consumo de cigarros, tende a aumentar também o número de mortes por câncer de pulmão.
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e
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e
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e
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.
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