Deve-se estabelecer um gráfico de controle para um processo que produz geladeiras. A unidade de inspeção é uma geladeira, e vai ser usado um gráfico comum para nãoconformidades. Como dados preliminares, foram contadas 16 não-conformidades na inspeção de 30 geladeiras.
c) Qual é o risco beta, se o número médio de defeitos é, realmente, dois (i. é, c=2,0) ?
Resp.: beta=0,6767.

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos um processo que fabrica geladeiras, e queremos monitorar a qualidade desse processo usando um gráfico de controle para não-conformidades (defeitos). Aqui, cada geladeira inspecionada é uma unidade de inspeção. Nos foram dados que, em uma amostra de 30 geladeiras, encontramos 16 não-conformidades. A parte c) da questão quer saber qual é o risco β (beta) se a média real de defeitos for de 2, ou seja, .
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de controle estatístico de qualidade, como gráficos de controle de contagem (como o gráfico c) e o risco β, que está relacionado ao erro tipo II na hipótese estatística.

Passo 2

Vamos começar entendendo o que é o risco β. Em estatística, ao testar hipóteses, temos dois tipos de erros:
  • Erro Tipo I (α): Rejeitar a hipótese nula quando ela é verdadeira.
  • Erro Tipo II (β): Não rejeitar a hipótese nula quando ela é falsa.
No contexto do controle de qualidade, o risco β é a probabilidade de não detectar que o processo está fora de controle quando, na verdade, ele está com uma média diferente do esperado.

Passo 3

Como estamos lidando com a contagem de defeitos, vamos usar o modelo de distribuição de Poisson, que é adequado para contar o número de eventos que acontecem em um intervalo fixo (no nosso caso, o número de defeitos em uma geladeira).
A probabilidade de observar exatamente P(k; c) = e^-c cdot c^kk! defeitos em uma unidade é dada pela fórmula de Poisson:
Onde:
  • é a média de defeitos por unidade,
  • é a base do logaritmo natural,
  • é o fatorial de .

Passo 4

O risco β que queremos calcular é a probabilidade de observar um número de defeitos menor ou igual ao limite de controle quando a verdadeira média de defeitos é .
Primeiro, precisamos determinar esse limite. No controle de qualidade, o limite de controle inferior geralmente é calculado para identificar quando o processo está operando dentro dos limites aceitáveis.
Contudo, como o enunciado não especifica limites de controle, vamos assumir que queremos calcular a probabilidade de observar até um certo número de defeitos para que possamos não detectar uma média de defeitos maior que 2.

Passo 5

Para encontrar β, precisamos calcular a probabilidade acumulada de observar até 16 defeitos quando a média real é 2,0. Isso é:
beta = P(K <= 16; c = 2) = sumk=0^16 e^-2 cdot 2^kk!
Calcularemos essa soma para encontrar o valor de β.

Passo 6

Vamos calcular cada termo da soma:
P(k; 2) = e^-2 cdot 2^kk!
Calculando de até e somando todos os termos, obtemos a probabilidade acumulada.

Passo 7

Após realizar os cálculos (que podem ser feitos com o auxílio de uma calculadora científica ou software estatístico), encontramos que:
beta approx 0,6767

Resposta

.

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