Considere que em um determinado sistema de unidades a velocidade
tenha dimensão de
, em que
representa um tempo,
uma aceleração,
representa uma distância,
uma velocidade,
uma aceleração e
,
e
são números reais. Para que a equação seja dimensionalmente correta, ou seja, para que a dimensão do lado esquerdo da equação seja igual à dimensão do lado direito, DETERMINE o valor do expoente
.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui. A questão fala sobre dimensões físicas e como elas se relacionam numa equação. Nosso objetivo é encontrar o valor do expoente $ m $ na expressão $ v = a^{n} t^{m} x^{p} $, garantindo que os dois lados da equação tenham as mesmas dimensões. Para isso, vamos precisar entender as dimensões de cada uma das grandezas envolvidas:
- Velocidade ($ v $): tem dimensão de comprimento dividido pelo tempo, ou seja,
. - Aceleração ($ a $): é a variação da velocidade no tempo, então sua dimensão é
. - Tempo ($ t $): tem dimensão
. - Distância ($ x $): tem dimensão
.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever as dimensões de cada termo na expressão $ v = a^{n} t^{m} x^{p} $:
- $ [v] = [L][T]^{-1} $
- $ [a^{n}] = ([L][T]{-2}){n} = [L{n}][T{-2n}] $
- $ [t^{m}] = [T^{m}] $
- $ [x^{p}] = [L^{p}] $
Agora, multiplicando as dimensões dos termos do lado direito:
Passo 3
Para que a equação seja dimensionamente correta, as dimensões do lado esquerdo devem ser iguais às do lado direito. Então, igualamos as dimensões:
Isso nos dá duas equações:
- Para a dimensão de $ L $:
- Para a dimensão de $ T $:
Passo 4
Agora, vamos resolver essas equações para encontrar $ m $.
Da primeira equação:
Da segunda equação:
Resposta
O valor do expoente $ m $ é $ m = 2n - 1 $.