Considere que em um determinado sistema de unidades a velocidade v tenha dimensão de a^n t^m x^p, em que t representa um tempo, a uma aceleração, x representa uma distância, v uma velocidade, a uma aceleração e n, m e p são números reais. Para que a equação seja dimensionalmente correta, ou seja, para que a dimensão do lado esquerdo da equação seja igual à dimensão do lado direito, DETERMINE o valor do expoente m.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui. A questão fala sobre dimensões físicas e como elas se relacionam numa equação. Nosso objetivo é encontrar o valor do expoente $ m $ na expressão $ v = a^{n} t^{m} x^{p} $, garantindo que os dois lados da equação tenham as mesmas dimensões. Para isso, vamos precisar entender as dimensões de cada uma das grandezas envolvidas:
  • Velocidade ($ v $): tem dimensão de comprimento dividido pelo tempo, ou seja, m .
  • Aceleração ($ a $): é a variação da velocidade no tempo, então sua dimensão é v = a^n t^m x^p .
  • Tempo ($ t $): tem dimensão v .
  • Distância ($ x $): tem dimensão [L][T]^-1.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as dimensões de cada termo na expressão $ v = a^{n} t^{m} x^{p} $:
  • $ [v] = [L][T]^{-1} $
  • $ [a^{n}] = ([L][T]{-2}){n} = [L{n}][T{-2n}] $
  • $ [t^{m}] = [T^{m}] $
  • $ [x^{p}] = [L^{p}] $
Agora, multiplicando as dimensões dos termos do lado direito:
v = a^n t^m x^p

Passo 3

Para que a equação seja dimensionamente correta, as dimensões do lado esquerdo devem ser iguais às do lado direito. Então, igualamos as dimensões:
[L][T]^-1 = [L^n + p][T^-2n + m]
Isso nos dá duas equações:
  1. Para a dimensão de $ L $:
L
  1. Para a dimensão de $ T $:
n + p = 1

Passo 4

Agora, vamos resolver essas equações para encontrar $ m $.
Da primeira equação:
m
Da segunda equação:
n + p = 1 implies p = 1 - n

Resposta

O valor do expoente $ m $ é $ m = 2n - 1 $.

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