Encontre o raio de convergência e o conjunto de convergência da série sumn=1^infty n(x-1)^n(n+2)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita dada por:
sumn=1^infty n(x-1)^nn+2
Nosso objetivo é encontrar o raio de convergência dessa série e o conjunto de convergência, ou seja, os valores de para os quais a série converge. Para isso, vamos utilizar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar o intervalo onde a série converge.

Passo 2

O Teste da Razão nos diz que para uma série L = limn to infty | an+1an | , calculamos o limite:
an+1an = (n+1)(x-1)^n+1n+3 cdot n+2n(x-1)^n = (n+1)(n+2)n(n+3) cdot (x-1)
Se , a série converge; se , a série diverge; e se , o teste é inconclusivo.
No nosso caso, . Vamos calcular :

Passo 3

Agora, vamos simplificar o limite:
L = limn to infty | (n+1)(n+2)n(n+3) cdot (x-1) |
Dividindo cada termo por L = limn to infty | (1 + 1n)(1 + 2n)(1)(1 + 3n) cdot (x-1) | = |x-1| :

Passo 4

Para que a série convirja, precisamos que |x - 1| < 1 :
Isso significa que deve estar dentro de uma distância de 1 unidade do ponto 1 no eixo real. Portanto, o raio de convergência é 1.

Passo 5

Agora, vamos determinar o conjunto de convergência verificando os extremos do intervalo sumn=1^infty n(-1)^nn+2 , ou seja, sumn=1^infty n(1)^nn+2 = sumn=1^infty nn+2 e .
  • Para :
Aqui, os termos tendem a 1 quando cresce. Como os termos não tendem a zero, a série não converge.
  • Para :
Novamente, os termos tendem a 1, então a série não converge.

Resposta

O raio de convergência é 1 e o conjunto de convergência é o intervalo aberto .

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