Considere a difusão de impurezas de gálio em uma lâmina de silício. Se o gálio se difundir a temperatura de
durante 3 h em uma lâmina de silício inicialmente isenta de gálio, qual é a profundidade, abaixo da superfície, em que a concentração de gálio é de
átomos
, se a concentração na superfície for
átomos
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre como as impurezas de gálio se difundem em uma lâmina de silício quando aquecida. A gente precisa descobrir até que profundidade o gálio alcança uma concentração específica após 3 horas a 1100°C. Para resolver isso, vamos usar conceitos de difusão, especialmente a Lei de Fick, que nos ajuda a entender como as partículas se espalham em um material.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a equação básica da difusão de Fick para um meio infinito:
Aqui:
-
é a concentração em uma profundidade após o tempo . -
é a concentração na superfície. -
é o coeficiente de difusão. -
é a função complementar do erro, que vem da solução da equação de difusão.
Passo 3
Nosso objetivo é encontrar a profundidade
onde a concentração
é
átomos/m³, dado que
átomos/m³. Vamos rearranjar a equação para resolver
:
Substituindo os valores conhecidos:
Assim:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar o valor de
que faz a função erfc igual a 0.01. Consultando uma tabela da função erfc ou usando uma calculadora inversa, encontramos:
Portanto:
Passo 5
Agora, vamos isolar
:
Mas precisamos do valor de
, o coeficiente de difusão do gálio no silício a 1100°C. Suponhamos que, a essa temperatura,
seja aproximadamente
m²/s (esse valor pode variar dependendo da fonte, mas vamos usar esse para nosso cálculo).
Passo 6
Vamos converter o tempo de 3 horas para segundos:
Agora, substituímos
e
na equação de
:
Passo 7
Calculando o interior da raiz:
Então:
Passo 8
Multiplicando os valores:
Convertendo para micrômetros:
Resposta
A profundidade em que a concentração de gálio é de
átomos/m³ é aproximadamente 48,3 micrômetros abaixo da superfície.