Considere a difusão de impurezas de gálio em uma lâmina de silício. Se o gálio se difundir a temperatura de 1100^circ C durante 3 h em uma lâmina de silício inicialmente isenta de gálio, qual é a profundidade, abaixo da superfície, em que a concentração de gálio é de 10^22 átomos / m^3, se a concentração na superfície for 10^24 átomos / m^3 ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre como as impurezas de gálio se difundem em uma lâmina de silício quando aquecida. A gente precisa descobrir até que profundidade o gálio alcança uma concentração específica após 3 horas a 1100°C. Para resolver isso, vamos usar conceitos de difusão, especialmente a Lei de Fick, que nos ajuda a entender como as partículas se espalham em um material.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a equação básica da difusão de Fick para um meio infinito:
C(x,t) = C0 , erfc(x2raizDt)
Aqui:
  • é a concentração em uma profundidade após o tempo .
  • é a concentração na superfície.
  • é o coeficiente de difusão.
  • é a função complementar do erro, que vem da solução da equação de difusão.

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar a profundidade C(x,t)C0 = erfc(x2raizDt) onde a concentração 10^2210^24 = erfc(x2raizDt) é 0.01 = erfc(x2raizDt) átomos/m³, dado que átomos/m³. Vamos rearranjar a equação para resolver :
Substituindo os valores conhecidos:
Assim:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o valor de erfc^-1(0.01) approx 2.326 que faz a função erfc igual a 0.01. Consultando uma tabela da função erfc ou usando uma calculadora inversa, encontramos:
x2raizDt = 2.326
Portanto:

Passo 5

Agora, vamos isolar x = 2.326 times 2 raizDt = 4.652 raizDt :
Mas precisamos do valor de , o coeficiente de difusão do gálio no silício a 1100°C. Suponhamos que, a essa temperatura, seja aproximadamente m²/s (esse valor pode variar dependendo da fonte, mas vamos usar esse para nosso cálculo).

Passo 6

Vamos converter o tempo de 3 horas para segundos:
3 , h = 3 times 3600 , s = 10800 , s
Agora, substituímos x = 4.652 raiz1 times 10^-14 , m²/s times 10800 , s e na equação de :
²

Passo 7

Calculando o interior da raiz:
1 times 10^-14 times 10800 = 1.08 times 10^-10 , m² ²
Então:
x = 4.652 times raiz1.08 times 10^-10 , m
x = 4.652 times 1.039 times 10^-5 , m

Passo 8

Multiplicando os valores:
x approx 4.652 times 1.039 times 10^-5 , m approx 4.83 times 10^-5 , m
Convertendo para micrômetros:
4.83 times 10^-5 , m = 48.3 , mum

Resposta

A profundidade em que a concentração de gálio é de átomos/m³ é aproximadamente 48,3 micrômetros abaixo da superfície.

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