Considere um disco de raio
uniformemente carregado com densidade superficial
. Por conveniência, escolha os eixos cartesiano de modo que o disco esteja no plano
e a origem coincida com o centro do disco.
(b) A partir do resultado obtido no item anterior, determine o campo eletrostático criado pelo disco em um ponto qualquer de seu eixo.
(b) A partir do resultado obtido no item anterior, determine o campo eletrostático criado pelo disco em um ponto qualquer de seu eixo.
Passo 1
Vamos lá! A gente tem um disco com raio
e uma densidade superficial de carga
. A gente quer descobrir qual é o campo elétrico que esse disco cria em um ponto qualquer do seu eixo. Para isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especialmente a Lei de Coulomb e o princípio de superposição.
Passo 2
Primeiro, vamos imaginar que o disco está no plano XY, com o centro na origem. Queremos encontrar o campo elétrico em um ponto ao longo do eixo Z, a uma distância
da origem. Por simetria, o campo elétrico só vai ter componente na direção Z.
Passo 3
Para achar o campo total, vamos considerar um anel infinitesimal no disco com raio
e espessura
. A carga nesse anel é
.
Passo 4
O campo elétrico gerado por esse anel no ponto
no eixo Z pode ser calculado usando a fórmula:
Aqui,
é a permissividade do vácuo.
Passo 5
Substituindo
na expressão do
:
Passo 6
Para encontrar o campo total
, precisamos integrar
de
até
:
Passo 7
Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja
, então
ou
. Os limites de integração mudam para
quando
e
quando
.
Passo 8
Substituindo na integral:
Passo 9
Calculando a integral definida:
Passo 10
Simplificando a expressão:
Resposta
O campo eletrostático criado pelo disco em um ponto qualquer do seu eixo é: