Considere um disco de raio a uniformemente carregado com densidade superficial sigma. Por conveniência, escolha os eixos cartesiano de modo que o disco esteja no plano O X Y e a origem coincida com o centro do disco.
(b) A partir do resultado obtido no item anterior, determine o campo eletrostático criado pelo disco em um ponto qualquer de seu eixo.

Passo 1

Vamos lá! A gente tem um disco com raio e uma densidade superficial de carga . A gente quer descobrir qual é o campo elétrico que esse disco cria em um ponto qualquer do seu eixo. Para isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especialmente a Lei de Coulomb e o princípio de superposição.

Passo 2

Primeiro, vamos imaginar que o disco está no plano XY, com o centro na origem. Queremos encontrar o campo elétrico em um ponto ao longo do eixo Z, a uma distância da origem. Por simetria, o campo elétrico só vai ter componente na direção Z.

Passo 3

Para achar o campo total, vamos considerar um anel infinitesimal no disco com raio e espessura . A carga nesse anel é .

Passo 4

O campo elétrico gerado por esse anel no ponto dE = 14pivarepsilon0 cdot dq cdot z(z^2 + r^2)^3/2 no eixo Z pode ser calculado usando a fórmula:
Aqui, é a permissividade do vácuo.

Passo 5

Substituindo dE = 14pivarepsilon0 cdot sigma cdot 2pi r dr cdot z(z^2 + r^2)^3/2 = sigma z2varepsilon0 cdot r dr(z^2 + r^2)^3/2 na expressão do :

Passo 6

Para encontrar o campo total E = sigma z2varepsilon0 integral0^a r dr(z^2 + r^2)^3/2 , precisamos integrar de até :

Passo 7

Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja , então ou . Os limites de integração mudam para quando e quando .

Passo 8

Substituindo na integral:
E = sigma z4varepsilon0 integralz^2^z^2 + a^2 duu^3/2 = sigma z4varepsilon0 [ -2u^-1/2 ]z^2^z^2 + a^2

Passo 9

Calculando a integral definida:
E = sigma z4varepsilon0 ( -2(z^2 + a^2)^-1/2 + 2(z^2)^-1/2 ) = sigma z2varepsilon0 ( 1z - 1raizz^2 + a^2 )

Passo 10

Simplificando a expressão:
E = sigma2varepsilon0 ( 1 - zraizz^2 + a^2 )

Resposta

O campo eletrostático criado pelo disco em um ponto qualquer do seu eixo é:
E = sigma2varepsilon0 ( 1 - zraizz^2 + a^2 )

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