Considere um disco de raio uniformemente carregado com densidade superficial . Por conveniência, escolha os eixos cartesiano de modo que o disco esteja no plano e a origem coincida com o centro do disco.
(b) A partir do resultado obtido no item anterior, determine o campo eletrostático criado pelo disco em um ponto qualquer de seu eixo.

Passo 1

Vamos lá! A gente tem um disco com raio e uma densidade superficial de carga . A gente quer descobrir qual é o campo elétrico que esse disco cria em um ponto qualquer do seu eixo. Para isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especialmente a Lei de Coulomb e o princípio de superposição.

Passo 2

Primeiro, vamos imaginar que o disco está no plano XY, com o centro na origem. Queremos encontrar o campo elétrico em um ponto ao longo do eixo Z, a uma distância da origem. Por simetria, o campo elétrico só vai ter componente na direção Z.

Passo 3

Para achar o campo total, vamos considerar um anel infinitesimal no disco com raio e espessura . A carga nesse anel é .

Passo 4

O campo elétrico gerado por esse anel no ponto no eixo Z pode ser calculado usando a fórmula:
Aqui, é a permissividade do vácuo.

Passo 5

Substituindo na expressão do :

Passo 6

Para encontrar o campo total , precisamos integrar de até :

Passo 7

Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja , então ou . Os limites de integração mudam para quando e quando .

Passo 8

Substituindo na integral:

Passo 9

Calculando a integral definida:

Passo 10

Simplificando a expressão:

Resposta

O campo eletrostático criado pelo disco em um ponto qualquer do seu eixo é:

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