Usando o Princípio de Incerteza de Heisenberg, explique a existência de uma energia mínima para uma partícula confinada em uma região finita de tamanho L.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a pergunta está pedindo. Temos que usar o Princípio de Incerteza de Heisenberg para explicar por que uma partícula que está confinada em uma região com tamanho finito, digamos L, tem uma energia mínima. Basicamente, queremos mostrar como a incerteza na posição e no momento da partícula cria um limite para a energia que ela pode ter.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Princípio de Incerteza de Heisenberg. Esse princípio nos diz que não podemos conhecer com precisão tanto a posição ( De) quanto o momento ( De) de uma partícula ao mesmo tempo. Matemáticamente, é expresso por:
onde hbar é a constante de Planck reduzida.

Passo 3

Como a partícula está confinada em uma região de tamanho L, a incerteza na posição ( De) é aproximadamente igual a L. Então podemos escrever:
De

Passo 4

Agora, usando o Princípio de Incerteza, podemos encontrar a incerteza no momento ( De):

Passo 5

A energia cinética ( E) de uma partícula está relacionada ao seu momento ( p) pela fórmula:
E = p^22m
onde m é a massa da partícula. Como estamos estimando uma energia mínima, vamos usar a incerteza no momento para encontrar essa energia mínima.

Passo 6

Substituindo De na fórmula da energia, temos:

Resposta

Portanto, usando o Princípio de Incerteza de Heisenberg, concluímos que a energia mínima para uma partícula confinada em uma região de tamanho L é:
Emin = hbar^28mL^2

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