Usando o Princípio de Incerteza de Heisenberg, explique a existência de uma energia mínima para uma partícula confinada em uma região finita de tamanho
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a pergunta está pedindo. Temos que usar o Princípio de Incerteza de Heisenberg para explicar por que uma partícula que está confinada em uma região com tamanho finito, digamos
, tem uma energia mínima. Basicamente, queremos mostrar como a incerteza na posição e no momento da partícula cria um limite para a energia que ela pode ter.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o Princípio de Incerteza de Heisenberg. Esse princípio nos diz que não podemos conhecer com precisão tanto a posição (
) quanto o momento (
) de uma partícula ao mesmo tempo. Matemáticamente, é expresso por:
onde
é a constante de Planck reduzida.
Passo 3
Como a partícula está confinada em uma região de tamanho
, a incerteza na posição (
) é aproximadamente igual a
. Então podemos escrever:
Passo 4
Agora, usando o Princípio de Incerteza, podemos encontrar a incerteza no momento (
):
Passo 5
A energia cinética (
) de uma partícula está relacionada ao seu momento (
) pela fórmula:
onde
é a massa da partícula. Como estamos estimando uma energia mínima, vamos usar a incerteza no momento para encontrar essa energia mínima.
Passo 6
Substituindo
na fórmula da energia, temos:
Resposta
Portanto, usando o Princípio de Incerteza de Heisenberg, concluímos que a energia mínima para uma partícula confinada em uma região de tamanho
é: