Usando o Princípio de Incerteza de Heisenberg, explique a existência de uma energia mínima para uma partícula confinada em uma região finita de tamanho .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a pergunta está pedindo. Temos que usar o Princípio de Incerteza de Heisenberg para explicar por que uma partícula que está confinada em uma região com tamanho finito, digamos , tem uma energia mínima. Basicamente, queremos mostrar como a incerteza na posição e no momento da partícula cria um limite para a energia que ela pode ter.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Princípio de Incerteza de Heisenberg. Esse princípio nos diz que não podemos conhecer com precisão tanto a posição ( ) quanto o momento ( ) de uma partícula ao mesmo tempo. Matemáticamente, é expresso por:
onde é a constante de Planck reduzida.

Passo 3

Como a partícula está confinada em uma região de tamanho , a incerteza na posição ( ) é aproximadamente igual a . Então podemos escrever:

Passo 4

Agora, usando o Princípio de Incerteza, podemos encontrar a incerteza no momento ( ):

Passo 5

A energia cinética ( ) de uma partícula está relacionada ao seu momento ( ) pela fórmula:
onde é a massa da partícula. Como estamos estimando uma energia mínima, vamos usar a incerteza no momento para encontrar essa energia mínima.

Passo 6

Substituindo na fórmula da energia, temos:

Resposta

Portanto, usando o Princípio de Incerteza de Heisenberg, concluímos que a energia mínima para uma partícula confinada em uma região de tamanho é:

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Considere uma casca esférica de raio uniformemente carregada com densidade superficial de carga . Escolha os eixos cartesianos de forma que a origem coincida com o centro da casca. Calcule, utilizando apropriadamente a Lei de Gauss, o campo eletrostático da casca esférica num ponto (dentro e fora da casca esférica) que não pertença à casca e trace um gráfico de em função da distância.
Considere um disco de raio uniformemente carregado com densidade superficial . Por conveniência, escolha os eixos cartesiano de modo que o disco esteja no plano e a origem coincida com o centro do disco.
(a) Calcule, por integração direta, o potencial eletrostático gerado pelo disco no eixo .
Considere um disco de raio uniformemente carregado com densidade superficial . Por conveniência, escolha os eixos cartesiano de modo que o disco esteja no plano e a origem coincida com o centro do disco.
(b) A partir do resultado obtido no item anterior, determine o campo eletrostático criado pelo disco em um ponto qualquer de seu eixo.
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