Considere uma casca esférica de raio
uniformemente carregada com densidade superficial de carga
. Escolha os eixos cartesianos de forma que a origem coincida com o centro da casca. Calcule, utilizando apropriadamente a Lei de Gauss, o campo eletrostático da casca esférica num ponto
(dentro e fora da casca esférica) que não pertença à casca e trace um gráfico de
em função da distância.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre eletrostática! A gente tem uma casca esférica com raio
e carga distribuída de forma uniforme com densidade superficial
. Queremos encontrar o campo elétrico
em um ponto
, tanto dentro quanto fora da casca. Para isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é uma ferramenta poderosa para calcular campos elétricos quando a simetria do problema ajuda a simplificar as coisas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da Lei de Gauss, que diz:
Aqui,
é o campo elétrico,
é um elemento de área da superfície gaussiana,
é a carga total dentro dessa superfície, e
é a permissividade do vácuo.
Passo 3
Vamos começar calculando o campo elétrico dentro da casca esférica. Imagine um ponto
dentro da casca, ou seja, a uma distância
do centro.
Escolhemos uma superfície gaussiana esférica de raio
centrada na origem. Como a carga está distribuída apenas na superfície da casca (raio
), toda a carga está fora da nossa superfície gaussiana. Portanto,
.
Aplicando a Lei de Gauss:
Então, o campo elétrico dentro da casca é zero.
Passo 4
Agora, vamos calcular o campo elétrico fora da casca esférica, ou seja, para
.
Dessa vez, escolhemos uma superfície gaussiana esférica de raio
maior que
. Toda a carga da casca está dentro dessa superfície, então
, pois a área da casca é
.
Aplicando novamente a Lei de Gauss:
Resolvendo para
:
Então, o campo elétrico fora da casca diminui com o quadrado da distância.
Passo 5
Vamos resumir o que encontramos e pensar em como seria o gráfico de
em função de
.
- Dentro da casca (
): - Na superfície da casca (
): - Fora da casca (
):
No gráfico, o campo elétrico é zero até chegar na casca, de onde ele dispara para um valor máximo e depois diminui conforme
.
Resposta
O campo elétrico
da casca esférica é:
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Considere um disco de raio
uniformemente carregado com densidade superficial
. Por conveniência, escolha os eixos cartesiano de modo que o disco esteja no plano
e a origem coincida com o centro do disco.
(a) Calcule, por integração direta, o potencial eletrostático gerado pelo disco no eixo .
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.
Considere um disco de raio
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. Por conveniência, escolha os eixos cartesiano de modo que o disco esteja no plano
e a origem coincida com o centro do disco.
(b) A partir do resultado obtido no item anterior, determine o campo eletrostático criado pelo disco em um ponto qualquer de seu eixo.
(b) A partir do resultado obtido no item anterior, determine o campo eletrostático criado pelo disco em um ponto qualquer de seu eixo.