Considere uma casca esférica de raio a uniformemente carregada com densidade superficial de carga sigma. Escolha os eixos cartesianos de forma que a origem coincida com o centro da casca. Calcule, utilizando apropriadamente a Lei de Gauss, o campo eletrostático da casca esférica num ponto P (dentro e fora da casca esférica) que não pertença à casca e trace um gráfico de E em função da distância.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre eletrostática! A gente tem uma casca esférica com raio e carga distribuída de forma uniforme com densidade superficial . Queremos encontrar o campo elétrico em um ponto , tanto dentro quanto fora da casca. Para isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é uma ferramenta poderosa para calcular campos elétricos quando a simetria do problema ajuda a simplificar as coisas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da Lei de Gauss, que diz:
ointSuperfície Gaussiana E cdot dA = Qinternovarepsilon0 í
Aqui, é o campo elétrico, é um elemento de área da superfície gaussiana, é a carga total dentro dessa superfície, e é a permissividade do vácuo.

Passo 3

Vamos começar calculando o campo elétrico dentro da casca esférica. Imagine um ponto oint E cdot dA = E cdot 4pi r^2 = 0varepsilon0 implies E = 0 dentro da casca, ou seja, a uma distância do centro.
Escolhemos uma superfície gaussiana esférica de raio centrada na origem. Como a carga está distribuída apenas na superfície da casca (raio ), toda a carga está fora da nossa superfície gaussiana. Portanto, .
Aplicando a Lei de Gauss:
Então, o campo elétrico dentro da casca é zero.

Passo 4

Agora, vamos calcular o campo elétrico fora da casca esférica, ou seja, para oint E cdot dA = E cdot 4pi r^2 = sigma cdot 4pi a^2varepsilon0 .
Dessa vez, escolhemos uma superfície gaussiana esférica de raio E = sigma a^2varepsilon0 r^2 maior que . Toda a carga da casca está dentro dessa superfície, então , pois a área da casca é .
Aplicando novamente a Lei de Gauss:
Resolvendo para :
Então, o campo elétrico fora da casca diminui com o quadrado da distância.

Passo 5

Vamos resumir o que encontramos e pensar em como seria o gráfico de em função de .
  • Dentro da casca ( ):
  • Na superfície da casca ( ):
  • Fora da casca ( ):
No gráfico, o campo elétrico é zero até chegar na casca, de onde ele dispara para um valor máximo e depois diminui conforme .

Resposta

O campo elétrico E = 0, & para r < a sigma a^2varepsilon0 r^2 r, & para r > a da casca esférica é:

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