Uma mola de constante elástica
está fica em uma de suas extremidades e na outra há uma massa
. O sistema está confinado no plano horizontal de modo que
e
(coordenadas polares) podem variar. Sabendo que o comprimento natural da mola é
. Marque a opção que melhor representa a função Lagrangeana do sistema.
c)
c)
Passo 1
Entendendo o problema:
Temos uma mola com constante elástica $ k $ fixa em uma das extremidades e com uma massa $ m $ na outra extremidade. O sistema está restrito ao plano horizontal, permitindo que as coordenadas polares $ r $ (distância radial) e $ \theta $ (ângulo) variem. O comprimento natural da mola é $ s $.
Conteúdos envolvidos:
- Energia Cinética (T): Energia associada ao movimento da massa.
- Energia Potencial (V): Energia armazenada na mola devido à sua deformação.
- Função Lagrangiana (L): Diferença entre energia cinética e energia potencial, $ L = T - V $.
Vamos precisar aplicar as fórmulas de energia cinética e potencial em coordenadas polares para determinar a Lagrangiana do sistema.
Passo 2
Calculando a Energia Cinética (T):
Em coordenadas polares, a energia cinética de uma partícula é dada por:
- $ \dot{r} $: Taxa de variação da distância radial (velocidade radial).
- $ \dot{\theta} $: Taxa de variação do ângulo (velocidade angular).
Explicação:
- A parte $ \frac{1}{2} m \dot{r}^2 $ representa a energia cinética devido ao movimento radial.
- A parte $ \frac{1}{2} m r^2 \dot{\theta}^2 $ representa a energia cinética devido ao movimento angular.
Passo 3
Calculando a Energia Potencial (V):
A energia potencial armazenada na mola é dada por:
- $ r $: Comprimento atual da mola.
- $ s $: Comprimento natural da mola.
Explicação:
- Quando $ r > s $, a mola está esticada; quando $ r < s $, está comprimida.
- A energia potencial depende apenas da deformação da mola, ou seja, da diferença entre o comprimento atual $ r $ e o comprimento natural $ s $.
Passo 4
Montando a Função Lagrangiana (L):
A Lagrangiana é definida como a diferença entre a energia cinética e a energia potencial:
Explicação:
- Subtraímos a energia potencial da energia cinética para obter a Lagrangiana.
- Essa função é fundamental para derivar as equações de movimento do sistema usando as equações de Lagrange.
Resposta
A função Lagrangiana correta do sistema é:
Comparando com a opção c) fornecida:
Observamos que na opção c) há um termo $ r \operatorname{sen} \theta $ dentro da energia potencial. Porém, a energia potencial da mola deve depender apenas da variação do comprimento $ r $ em relação ao comprimento natural $ s $, sem envolvimento do ângulo $ \theta $.
Portanto, a opção c) está incorreta. A expressão correta para a função Lagrangiana não inclui o termo $ \operatorname{sen} \theta $ na energia potencial. A resposta correta é: