Uma mola de constante elástica k está fica em uma de suas extremidades e na outra há uma massa m. O sistema está confinado no plano horizontal de modo que r e theta (coordenadas polares) podem variar. Sabendo que o comprimento natural da mola é s. Marque a opção que melhor representa a função Lagrangeana do sistema.
c) 12 m dotr^2+12 m r^2 dottheta^2-12 k(r sen theta-s)^2

Passo 1

Entendendo o problema:
Temos uma mola com constante elástica $ k $ fixa em uma das extremidades e com uma massa $ m $ na outra extremidade. O sistema está restrito ao plano horizontal, permitindo que as coordenadas polares $ r $ (distância radial) e $ \theta $ (ângulo) variem. O comprimento natural da mola é $ s $.
Conteúdos envolvidos:
  • Energia Cinética (T): Energia associada ao movimento da massa.
  • Energia Potencial (V): Energia armazenada na mola devido à sua deformação.
  • Função Lagrangiana (L): Diferença entre energia cinética e energia potencial, $ L = T - V $.
Vamos precisar aplicar as fórmulas de energia cinética e potencial em coordenadas polares para determinar a Lagrangiana do sistema.

Passo 2

Calculando a Energia Cinética (T):
Em coordenadas polares, a energia cinética de uma partícula é dada por:
T = 12 m ( dotr^2 + r^2 dottheta^2 )
  • $ \dot{r} $: Taxa de variação da distância radial (velocidade radial).
  • $ \dot{\theta} $: Taxa de variação do ângulo (velocidade angular).
Explicação:
  • A parte $ \frac{1}{2} m \dot{r}^2 $ representa a energia cinética devido ao movimento radial.
  • A parte $ \frac{1}{2} m r^2 \dot{\theta}^2 $ representa a energia cinética devido ao movimento angular.

Passo 3

Calculando a Energia Potencial (V):
A energia potencial armazenada na mola é dada por:
V = 12 k (r - s)^2
  • $ r $: Comprimento atual da mola.
  • $ s $: Comprimento natural da mola.
Explicação:
  • Quando $ r > s $, a mola está esticada; quando $ r < s $, está comprimida.
  • A energia potencial depende apenas da deformação da mola, ou seja, da diferença entre o comprimento atual $ r $ e o comprimento natural $ s $.

Passo 4

Montando a Função Lagrangiana (L):
A Lagrangiana é definida como a diferença entre a energia cinética e a energia potencial:
L = T - V = 12 m ( dotr^2 + r^2 dottheta^2 ) - 12 k (r - s)^2
Explicação:
  • Subtraímos a energia potencial da energia cinética para obter a Lagrangiana.
  • Essa função é fundamental para derivar as equações de movimento do sistema usando as equações de Lagrange.

Resposta

A função Lagrangiana correta do sistema é:
L = 12 m dotr^2 + 12 m r^2 dottheta^2 - 12 k (r - s)^2
Comparando com a opção c) fornecida:
12 m dotr^2 + 12 m r^2 dottheta^2 - 12 k (r sen theta - s)^2
Observamos que na opção c) há um termo $ r \operatorname{sen} \theta $ dentro da energia potencial. Porém, a energia potencial da mola deve depender apenas da variação do comprimento $ r $ em relação ao comprimento natural $ s $, sem envolvimento do ângulo $ \theta $.
Portanto, a opção c) está incorreta. A expressão correta para a função Lagrangiana não inclui o termo $ \operatorname{sen} \theta $ na energia potencial. A resposta correta é:
r sen theta

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a) 12 m dotr^2+12 m r^2 dottheta^2-12 k(r-s)^2
Uma esfera não condutora sólida de raio a, tem uma densidade uniforme de carga rho e uma carga total Q. Concêntrica a esta esfera está uma casca condutora, que não está carregada, com raio interno b e raio externo C. Calcule o campo elétrico nas regiões em que r , a e r>c.
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e) 12 m dotr^2+12 m r^2 dottheta^2-12 k r^2
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c) vc m=v0a