Considere dois eventos A e B, mutuamente exclusivos, com P(A)=0,3 e P(B)=0,5. Calcule:
a) P(A cap B);
b) P(A cup B);
c) P(A mid B);
d) P(A^c);
e) P[(A cup B)^c].

Passo 1

Vamos lá! A questão fala sobre probabilidades de eventos. Temos dois eventos, A e B, que são mutuamente exclusivos, o que significa que eles não podem acontecer ao mesmo tempo. As probabilidades de cada um são dadas: P(A) = 0,3 e P(B) = 0,5. Vamos calcular cada parte pedida usando conceitos básicos de probabilidade.

Passo 2

a) P(A cap B)
Quando eventos são mutuamente exclusivos, a probabilidade de ambos acontecerem ao mesmo tempo, P(A cap B), é zero. Isso acontece porque, por definição, eles não podem ocorrer juntos.

Passo 3

b) P(A cup B)
A probabilidade de pelo menos um dos eventos acontecer, P(A cup B), é a soma das probabilidades individuais, já que eles não se sobrepõem (mutuamente exclusivos).
P(A cup B) = P(A) + P(B) = 0,3 + 0,5 = 0,8

Passo 4

c) P(A mid B)
Essa é a probabilidade de A acontecer dado que B já aconteceu. A fórmula é:
P(A mid B) = P(A cap B)P(B)
Como A e B são mutuamente exclusivos, P(A cap B) = 0. Então:
P(A mid B) = 00,5 = 0

Passo 5

d) P(A^c)
A^c é o complemento de A, ou seja, a probabilidade de A não acontecer. A soma das probabilidades de um evento e seu complemento é 1.
P(A^c) = 1 - P(A) = 1 - 0,3 = 0,7

Passo 6

e) P[(A cup B)^c]
Primeiro, encontramos P(A cup B), que já calculamos como 0,8. O complemento dessa união é a probabilidade de nenhum dos eventos acontecer.
P[(A cup B)^c] = 1 - P(A cup B) = 1 - 0,8 = 0,2

Resposta

a) P(A cap B) = 0
b) P(A cup B) = 0,8
c) P(A mid B) = 0
d) P(A^c) = 0,7
e) P[(A cup B)^c] = 0,2

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