Considere dois planos infinitos paralelos entre si, com densidades superficiais
e
, separados por uma distância
. Calcule o potencial e o campo elétrico gerados por eles em todas as regiões do espaço.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem dois planos infinitos paralelos com densidades superficiais de carga
e
, separados por uma distância
. Nosso objetivo é calcular o campo elétrico e o potencial elétrico em todas as regiões do espaço ao redor desses planos. Para isso, vamos precisar usar conceitos de eletrostática, especificamente o campo elétrico gerado por planos infinitos e a superposição de campos. Também vamos integrar o campo elétrico para encontrar o potencial elétrico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o campo elétrico gerado por um único plano infinito com densidade superficial de carga. A fórmula para o campo elétrico
gerado por um plano infinito é:
onde
é a densidade superficial de carga e
é a constante de permissividade do vácuo. O campo elétrico gerado por um plano infinito é perpendicular ao plano e aponta para fora se a carga for positiva e para dentro se a carga for negativa.
Passo 3
Agora, vamos analisar cada um dos dois planos:
- Plano com densidade
: Este plano positivo gera um campo elétrico de magnitude saindo perpendicularmente do plano em ambas as direções. - Plano com densidade
: Este plano negativo gera um campo elétrico de magnitude entrando perpendicularmente no plano em ambas as direções.
Passo 4
Em seguida, devemos considerar as diferentes regiões do espaço em relação aos planos para aplicar o princípio da superposição dos campos elétricos. As três regiões possíveis são:
- Região à esquerda de ambos os planos.
- Região entre os dois planos.
- Região à direita de ambos os planos.
Passo 5
Vamos calcular o campo elétrico em cada região utilizando a superposição dos campos dos dois planos:
-
Região à esquerda de ambos os planos:
- Campo do plano
: para a esquerda. - Campo do plano
: para a direita (já que é negativo). - Campo total:
(direção para a direita).
- Campo do plano
-
Região entre os dois planos:
- Campo do plano
: para a direita. - Campo do plano
: para a direita. - Campo total:
(direção para a direita).
- Campo do plano
-
Região à direita de ambos os planos:
- Campo do plano
: para a direita. - Campo do plano
: para a esquerda. - Campo total:
(direção para a esquerda).
- Campo do plano
Passo 6
Agora, vamos calcular o potencial elétrico
em cada região. Sabemos que o potencial está relacionado ao campo elétrico pela relação:
Vamos escolher o potencial no infinito à esquerda como referência zero, ou seja,
.
-
Região à esquerda de ambos os planos:
- Campo elétrico:
- Potencial: Como estamos indo em direção ao plano, o potencial aumenta:
Ajustando para , concluímos que .
- Campo elétrico:
-
Região entre os dois planos:
- Campo elétrico:
- Potencial:
- Campo elétrico:
-
Região à direita de ambos os planos:
- Campo elétrico:
- Potencial:
- Campo elétrico:
Para determinar as constantes de integração, podemos considerar que o potencial deve ser contínuo nos planos e ajustar as constantes de acordo.
Resposta
O campo elétrico
e o potencial elétrico
nas diferentes regiões são:
-
Região à esquerda de ambos os planos:
-
Região entre os dois planos:
-
Região à direita de ambos os planos:
As constantes
,
e
são determinadas pelas condições de continuidade do potencial nos planos e pela escolha da referência de potencial no infinito.