Considere dois planos infinitos paralelos entre si, com densidades superficiais sigma e -2 sigma, separados por uma distância d. Calcule o potencial e o campo elétrico gerados por eles em todas as regiões do espaço.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem dois planos infinitos paralelos com densidades superficiais de carga sigma e -2sigma, separados por uma distância d. Nosso objetivo é calcular o campo elétrico e o potencial elétrico em todas as regiões do espaço ao redor desses planos. Para isso, vamos precisar usar conceitos de eletrostática, especificamente o campo elétrico gerado por planos infinitos e a superposição de campos. Também vamos integrar o campo elétrico para encontrar o potencial elétrico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o campo elétrico gerado por um único plano infinito com densidade superficial de carga. A fórmula para o campo elétrico E gerado por um plano infinito é:
E = sigma2varepsilon0
onde sigma é a densidade superficial de carga e varepsilon0 é a constante de permissividade do vácuo. O campo elétrico gerado por um plano infinito é perpendicular ao plano e aponta para fora se a carga for positiva e para dentro se a carga for negativa.

Passo 3

Agora, vamos analisar cada um dos dois planos:
  1. Plano com densidade sigma: Este plano positivo gera um campo elétrico de magnitude sigma2varepsilon0 saindo perpendicularmente do plano em ambas as direções.
  2. Plano com densidade -2sigma: Este plano negativo gera um campo elétrico de magnitude 2sigma2varepsilon0 = sigmavarepsilon0 entrando perpendicularmente no plano em ambas as direções.

Passo 4

Em seguida, devemos considerar as diferentes regiões do espaço em relação aos planos para aplicar o princípio da superposição dos campos elétricos. As três regiões possíveis são:
  1. Região à esquerda de ambos os planos.
  2. Região entre os dois planos.
  3. Região à direita de ambos os planos.

Passo 5

Vamos calcular o campo elétrico em cada região utilizando a superposição dos campos dos dois planos:
  1. Região à esquerda de ambos os planos:
    • Campo do plano sigma: sigma2varepsilon0 para a esquerda.
    • Campo do plano -2sigma: sigmavarepsilon0 para a direita (já que é negativo).
    • Campo total: sigma2varepsilon0 - sigmavarepsilon0 = -sigma2varepsilon0 (direção para a direita).
  2. Região entre os dois planos:
    • Campo do plano sigma: sigma2varepsilon0 para a direita.
    • Campo do plano -2sigma: sigmavarepsilon0 para a direita.
    • Campo total: sigma2varepsilon0 + sigmavarepsilon0 = 3sigma2varepsilon0 (direção para a direita).
  3. Região à direita de ambos os planos:
    • Campo do plano sigma: sigma2varepsilon0 para a direita.
    • Campo do plano -2sigma: sigmavarepsilon0 para a esquerda.
    • Campo total: sigma2varepsilon0 - sigmavarepsilon0 = -sigma2varepsilon0 (direção para a esquerda).

Passo 6

Agora, vamos calcular o potencial elétrico V em cada região. Sabemos que o potencial está relacionado ao campo elétrico pela relação:
V(b) - V(a) = -integrala^b E , dx
Vamos escolher o potencial no infinito à esquerda como referência zero, ou seja, V(-infty) = 0.
  1. Região à esquerda de ambos os planos:
    • Campo elétrico: E = -sigma2varepsilon0
    • Potencial: Como estamos indo em direção ao plano, o potencial aumenta: V(x) = sigma2varepsilon0 x + C Ajustando para V(-infty) = 0, concluímos que V(x) = sigma2varepsilon0 x + constante.
  2. Região entre os dois planos:
    • Campo elétrico: E = 3sigma2varepsilon0
    • Potencial: V(x) = -3sigma2varepsilon0 x + C
  3. Região à direita de ambos os planos:
    • Campo elétrico: E = -sigma2varepsilon0
    • Potencial: V(x) = sigma2varepsilon0 x + C
Para determinar as constantes de integração, podemos considerar que o potencial deve ser contínuo nos planos e ajustar as constantes de acordo.

Resposta

O campo elétrico E e o potencial elétrico V nas diferentes regiões são:
  1. Região à esquerda de ambos os planos:
    E = sigma2varepsilon0 (direção para a direita) çã
    V(x) = sigma2varepsilon0 x + C1
  2. Região entre os dois planos:
    E = 3sigma2varepsilon0 (direção para a direita) çã
    V(x) = -3sigma2varepsilon0 x + C2
  3. Região à direita de ambos os planos:
    E = -sigma2varepsilon0 (direção para a esquerda) çã
    V(x) = sigma2varepsilon0 x + C3
As constantes C1, C2 e C3 são determinadas pelas condições de continuidade do potencial nos planos e pela escolha da referência de potencial no infinito.

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