Um cilindro de raio
muito comprido tem uma carga
distribuída de acordo com a expressão
, onde
é a densidade volumétrica de carga,
e
são constantes e
é a coordenada cilíndrica que mede a distância de um ponto ao eixo no plano xy. Calcule o campo elétrico produzido por esse cilíndrico a uma distância
do eixo.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um cilindro muito comprido, com raio
, e uma carga distribuída de forma que a densidade volumétrica de carga
depende da distância
ao eixo do cilindro, segundo a expressão:
Aqui,
e
são constantes. Nosso objetivo é calcular o campo elétrico
gerado por esse cilindro a uma distância
do eixo. Para isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é uma ferramenta poderosa para calcular campos elétricos em situações de simetria.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela nos diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada (chamada de superfície gaussiana) é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo
:
Nesse caso, como o cilindro é muito comprido, podemos escolher uma superfície gaussiana também cilíndrica, coaxial com o cilindro de carga.
Passo 3
Vamos escolher uma superfície gaussiana cilíndrica com raio
e comprimento
, onde
é a distância do eixo onde queremos calcular o campo elétrico. Devido à simetria do problema, o campo elétrico
terá apenas componente radial e será o mesmo em toda a superfície lateral do cilindro gaussiano.
Passo 4
Agora, precisamos calcular a carga total
dentro da superfície gaussiana. Como a densidade de carga varia com
, vamos integrar a densidade sobre o volume do cilindro interno:
Substituindo
:
Passo 5
Vamos resolver a integral:
Portanto,
Passo 6
Aplicando a Lei de Gauss:
Substituindo
:
Passo 7
Resolvendo para
:
Resposta
O campo elétrico a uma distância
do eixo do cilindro é: