Um cilindro de raio R muito comprido tem uma carga Q distribuída de acordo com a expressão rho=rho0(1-alphar), onde rho é a densidade volumétrica de carga, rho0 e alpha são constantes e r é a coordenada cilíndrica que mede a distância de um ponto ao eixo no plano xy. Calcule o campo elétrico produzido por esse cilíndrico a uma distância d do eixo.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um cilindro muito comprido, com raio rho = rho0 (1 - alphar) , e uma carga distribuída de forma que a densidade volumétrica de carga depende da distância ao eixo do cilindro, segundo a expressão:
Aqui, e são constantes. Nosso objetivo é calcular o campo elétrico gerado por esse cilindro a uma distância do eixo. Para isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é uma ferramenta poderosa para calcular campos elétricos em situações de simetria.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela nos diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada (chamada de superfície gaussiana) é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo oint E cdot dA = Qinternoepsilon0 :
Nesse caso, como o cilindro é muito comprido, podemos escolher uma superfície gaussiana também cilíndrica, coaxial com o cilindro de carga.

Passo 3

Vamos escolher uma superfície gaussiana cilíndrica com raio e comprimento , onde é a distância do eixo onde queremos calcular o campo elétrico. Devido à simetria do problema, o campo elétrico terá apenas componente radial e será o mesmo em toda a superfície lateral do cilindro gaussiano.

Passo 4

Agora, precisamos calcular a carga total Qinterno = integral0^d rho(r) cdot 2pi r L , dr dentro da superfície gaussiana. Como a densidade de carga varia com Qinterno = 2pi rho0 L integral0^d (1 - alphar) r , dr , vamos integrar a densidade sobre o volume do cilindro interno:
Substituindo :

Passo 5

Vamos resolver a integral:
integral0^d (1 - alphar) r , dr = integral0^d (r - alpha) , dr = [12r^2 - alpha r]0^d = 12d^2 - alpha d
Portanto,
Qinterno = 2pi rho0 L (12d^2 - alpha d) = pi rho0 L (d^2 - 2alpha d)

Passo 6

Aplicando a Lei de Gauss:
oint E cdot dA = E cdot (2pi d L) = Qinternoepsilon0
Substituindo E cdot (2pi d L) = pi rho0 L (d^2 - 2alpha d)epsilon0 :

Passo 7

Resolvendo para E = pi rho0 L (d^2 - 2alpha d)2pi d L epsilon0 = rho0 (d^2 - 2alpha d)2 d epsilon0 = rho0 (d - 2alpha)2 epsilon0 :

Resposta

O campo elétrico a uma distância E = rho0 (d - 2alpha)2 epsilon0 do eixo do cilindro é:

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