Considere dois planos r subscript 1 e r subscript 2. Se eles possuem vetores normais não paralelos, então os planos são concorrentes, e, nesse caso, a distância entre os planos é zero. No caso em que os vetores normais são paralelos, no entanto, os planos são paralelos ou coincidentes, e podemos ter uma distância não nula.
Selecione a alternativa que apresenta, corretamente, a definição de distância entre dois planos r subscript 1 e r subscript 2 paralelos, com vetores normais stack n subscript 1 with rightwards arrow on top e stack n subscript 2 with rightwards arrow on top.
a.
A distância entre straight pi subscript 1 e straight pi subscript 2 é obtida por meio do produto interno stack n subscript 1 with rightwards arrow on top space times space stack n subscript 2 with rightwards arrow on top…
b.
A distância entre straight pi subscript 1 e straight pi subscript 2 é igual à diferença dos seus vetores normais.
c.
A distância entre straight pi subscript 1 e straight pi subscript 2 é obtida por meio do produto vetorial stack n subscript 1 with rightwards arrow on top space x space stack n subscript 2 with rightwards arrow on top.
d.
A distância entre straight pi subscript 1 e straight pi subscript 2 é a mesma distância entre os seus vetores normais.
e.
A distância entre straight pi subscript 1 e straight pi subscript 2 é a mesma distância entre um ponto P element of pi subscript 1 e o plano straight pi subscript 2.

Passo 1

Tudo bem! Vamos resolver esse exercício que trata de geometria espacial, mais especificamente sobre planos e a distância entre eles. Precisamos entender o que são vetores normais de planos e como calcular a distância entre dois planos paralelos usando esses vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um vetor normal de um plano é um vetor que é perpendicular a esse plano. Se dois planos têm vetores normais que não são paralelos, os planos se intersectam em uma linha (ou seja, são concorrentes) e a distância entre eles é zero.

Passo 3

No caso de dois planos terem vetores normais paralelos, os planos podem ser paralelos entre si ou coincidentes. Se forem paralelos, há uma distância não nula entre eles. Para encontrar essa distância, usamos a fórmula que envolve os vetores normais dos planos.

Passo 4

A distância $ d $ entre dois planos paralelos $ \pi_1 $ e $ \pi_2 $ com vetores normais $ \vec{n}_1 $ e $ \vec{n}_2 $ é dada por:
d
onde $ D_1 $ e $ D_2 $ são constantes das equações dos planos na forma $ \vec{n} \cdot \vec{r} = D $, e $ |\vec{n}| $ é o módulo do vetor normal.

Passo 5

Nesta fórmula, vemos que a distância depende do produto interno dos vetores normais e da diferença das constantes das equações dos planos. Isso significa que a distância não é simplesmente a diferença dos vetores ou o produto vetorial deles.

Passo 6

Analisando as alternativas:
  • a. Fala sobre produto interno dos vetores normais.
  • b. Menciona a diferença dos vetores normais.
  • c. Fala sobre produto vetorial dos vetores normais.
  • d. Diz que a distância é a mesma distância entre os vetores normais.
  • e. Fala sobre a distância entre um ponto de um plano e o outro plano.
Com base na nossa fórmula, a alternativa que menciona o produto interno dos vetores normais é a correta.

Resposta

A alternativa a está correta.

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