Retas reversas possuem um valor de distância mínima. Qual é a distância entre as retas reversas a seguir?
r: x=2-t , y=3+t , z=1-2t
s: x=t , y=-1-3t , z=2t
A.
3/2
B.
5/3
C.
(3√5)/5
D.
(5√3)/2
E.
√3/5
r: x=2-t , y=3+t , z=1-2t
s: x=t , y=-1-3t , z=2t
A.
3/2
B.
5/3
C.
(3√5)/5
D.
(5√3)/2
E.
√3/5
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A questão fala sobre retas reversas, que são retas que não se encontram e nem são paralelas. A gente precisa encontrar a distância mínima entre elas. Vamos precisar usar conceitos de geometria analítica e algumas fórmulas matemáticas para calcular essa distância.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as equações paramétricas das retas $ r $ e $ s $:
- Reta $ r $:
- Reta $ s $:
s
Nessas equações, $ t $ é o parâmetro que varia ao longo de cada reta.
Passo 3
Vamos determinar os vetores diretores de cada reta. O vetor diretor de uma reta é dado pelos coeficientes de $ t $ nas equações paramétricas:
- Para a reta $ r $, o vetor diretor $ \vec{u} $ é:
t - Para a reta $ s $, o vetor diretor $ \vec{v} $ é:
r
Passo 4
Vamos escolher um ponto em cada reta para facilitar os cálculos. Vamos usar $ t = 0 $:
- Para a reta $ r $ quando $ t = 0 $:
t = 0 - Para a reta $ s $ quando $ t = 0 $:
r
Passo 5
Agora, vamos encontrar o vetor PQ, que vai de $ P $ até $ Q $:
Passo 6
Para encontrar a distância entre as retas, usamos a fórmula da distância entre retas reversas:
Onde:
- $ \vec{u} \times \vec{v} $ é o produto vetorial dos vetores diretores.
- $ \vec{PQ} \cdot (\vec{u} \times \vec{v}) $ é o produto escalar entre $ \vec{PQ} $ e $ \vec{u} \times \vec{v} $.
Passo 7
Vamos calcular o produto vetorial $ \vec{u} \times \vec{v} $:
Passo 8
Agora, vamos calcular o produto escalar $ \vec{PQ} \cdot (\vec{u} \times \vec{v}) $:
Passo 9
Em seguida, calculamos o magnitude de $ \vec{u} \times \vec{v} $:
Passo 10
Finalmente, aplicamos a fórmula da distância:
Resposta
A distância mínima entre as retas é $ \frac{3\sqrt{5}}{5} $. Resposta correta: C. (3√5)/5