Retas reversas possuem um valor de distância mínima. Qual é a distância entre as retas reversas a seguir?
r: x=2-t , y=3+t , z=1-2t
s: x=t , y=-1-3t , z=2t
A.
3/2
B.
5/3
C.
(3√5)/5
D.
(5√3)/2
E.
√3/5

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A questão fala sobre retas reversas, que são retas que não se encontram e nem são paralelas. A gente precisa encontrar a distância mínima entre elas. Vamos precisar usar conceitos de geometria analítica e algumas fórmulas matemáticas para calcular essa distância.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as equações paramétricas das retas $ r $ e $ s $:
  • Reta $ r $: r
  • Reta $ s $: s
Nessas equações, $ t $ é o parâmetro que varia ao longo de cada reta.

Passo 3

Vamos determinar os vetores diretores de cada reta. O vetor diretor de uma reta é dado pelos coeficientes de $ t $ nas equações paramétricas:
  • Para a reta $ r $, o vetor diretor $ \vec{u} $ é: t
  • Para a reta $ s $, o vetor diretor $ \vec{v} $ é: r

Passo 4

Vamos escolher um ponto em cada reta para facilitar os cálculos. Vamos usar $ t = 0 $:
  • Para a reta $ r $ quando $ t = 0 $: t = 0
  • Para a reta $ s $ quando $ t = 0 $: r

Passo 5

Agora, vamos encontrar o vetor PQ, que vai de $ P $ até $ Q $:
P

Passo 6

Para encontrar a distância entre as retas, usamos a fórmula da distância entre retas reversas:
d = |PQ cdot (u times v)||u times v|
Onde:
  • $ \vec{u} \times \vec{v} $ é o produto vetorial dos vetores diretores.
  • $ \vec{PQ} \cdot (\vec{u} \times \vec{v}) $ é o produto escalar entre $ \vec{PQ} $ e $ \vec{u} \times \vec{v} $.

Passo 7

Vamos calcular o produto vetorial $ \vec{u} \times \vec{v} $:
u times v
u times v = i & j & k -1 & 1 & -2 1 & -3 & 2 = (1 cdot 2 - (-2) cdot (-3))i - (-1 cdot 2 - (-2) cdot 1)j + (-1 cdot (-3) - 1 cdot 1)k

Passo 8

Agora, vamos calcular o produto escalar $ \vec{PQ} \cdot (\vec{u} \times \vec{v}) $:
PQ cdot (u times v)

Passo 9

Em seguida, calculamos o magnitude de $ \vec{u} \times \vec{v} $:
u times v

Passo 10

Finalmente, aplicamos a fórmula da distância:
d = |PQ cdot (u times v)||u times v| = |6|2raiz5 = 62raiz5 = 3raiz5 = 3raiz55

Resposta

A distância mínima entre as retas é $ \frac{3\sqrt{5}}{5} $. Resposta correta: C. (3√5)/5

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