Considere dois tipos de caixas de bombons, B e C. O tipo B contém 65% de bombons doces e 35% de bombons amargos, enquanto no tipo C essas porcentagens de sabor são inversas. Além disso, 45% de todas as caixas de bombons são do tipo B e as restantes do tipo C. Escolhe-se, aleatoriamente, uma caixa e um bombom dessa caixa; se for constatado que ele é do tipo doce, qual é a probabilidade condicional de ter vindo de uma caixa do tipo C?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de probabilidade juntos! A gente tem duas caixas de bombons, a B e a C, com diferentes proporções de bombons doces e amargos. Nosso objetivo aqui é descobrir qual a chance da caixa ser do tipo C, dado que a gente tirou um bombom doce. Para isso, vamos usar um conceito importante de Probabilidade Condicional e a Teoria de Bayes.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as informações que temos:
  • Proporção de caixas:
    • 45% são do tipo B (P(B) = 0.45)
    • 55% são do tipo C (P© = 0.55)
  • Proporção de bombons dentro de cada tipo de caixa:
    • Tipo B: 65% doces e 35% amargos (P(Doce|B) = 0.65, P(Amargo|B) = 0.35)
    • Tipo C: invertido, então 35% doces e 65% amargos (P(Doce|C) = 0.35, P(Amargo|C) = 0.65)

Passo 3

Agora, queremos encontrar a probabilidade condicional de a caixa ser do tipo C, dado que o bombom escolhido foi doce, ou seja, P(C|Doce). Para isso, vamos usar o Teorema de Bayes, que relaciona probabilidades condicionais e marginais. A fórmula do Teorema de Bayes é:

Passo 4

Vamos substituir os valores que já temos na fórmula:

Passo 5

Agora, vamos calcular os valores:
  1. Calculando o numerador:
  1. Calculando o denominador:
  1. Dividindo o numerador pelo denominador:

Resposta

A probabilidade condicional de a caixa ser do tipo C, dado que o bombom escolhido foi doce, é aproximadamente 39,79%.

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