Encontre, se existir, o valor de cada uma das seguintes integrais:
integral0^2 1x-1 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a integral definida de no intervalo de 0 a 2. Isso está dentro do conteúdo de cálculo integral, especificamente sobre integrais impróprias, que tratam de integrais onde a função pode ter pontos de descontinuidade ou o intervalo é infinito. Para resolver, vamos precisar aplicar conceitos de limites e entender o comportamento da função no ponto onde , que está dentro do intervalo de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar se a função apresenta algum problema dentro do intervalo [0, 2]. Observamos que quando , o denominador se torna zero, o que faz com que a função seja indefinida nesse ponto. Isso significa que a integral é imprópria, pois estamos tentando integrar uma função que não está definida em todo o intervalo.

Passo 3

Para lidar com essa descontinuidade, vamos dividir a integral em duas partes, separando o ponto problemático integral0^2 1x-1 , dx = integral0^1 1x-1 , dx + integral1^2 1x-1 , dx . Assim, temos:

Passo 4

Agora, vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente usando limites. Primeiro, para a integral de 0 a 1, vamos aproximar lima to 1^- integral0^a 1x-1 , dx de 1 pela esquerda:
lima to 1^- ln|x-1| |0^a = lima to 1^- ( ln|a-1| - ln| -1 | )
Calculando a antiderivada, temos:
À medida que se aproxima de 1 pela esquerda, se aproxima de 0 pelo lado negativo, então tende a . Portanto, essa parte da integral diverge para .

Passo 5

Agora, vamos resolver a segunda integral de 1 a 2, aproximando limb to 1^+ integralb^2 1x-1 , dx de 1 pela direita:
limb to 1^+ ln|x-1| |b^2 = limb to 1^+ ( ln|2-1| - ln|b-1| )
Calculando a antiderivada:
Aqui, e, quando se aproxima de 1 pela direita, se aproxima de 0 pelo lado positivo, então tende a . Portanto, essa parte da integral também diverge, mas para .

Resposta

Como as duas partes da integral divergem (uma para e outra para ), a integral não existe, ou seja, ela é divergente.

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