Considere duas cargas puntiformes, 2 q e -q, separadas por uma distância I. mostre que a superfície equipotencial
é uma esfera de raio
centrada no ponto
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas cargas puntiformes: uma de
e outra de
, separadas por uma distância
. O objetivo é mostrar que a superfície onde o potencial elétrico
é zero forma uma esfera de raio
e que essa esfera está centrada no ponto
. Vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente sobre potencial elétrico e superfícies equipotenciais. Para isso, vamos precisar lembrar como calcular o potencial elétrico devido a cargas puntiformes e como encontrar os pontos onde a soma dos potenciais é zero.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o potencial elétrico
gerado por uma carga puntiforme
em um ponto a uma distância
dela é dado pela fórmula:
onde
é a constante eletrostática (
).
No nosso caso, temos duas cargas:
e
. Vamos escolher um sistema de coordenadas onde a carga
está no ponto
com coordenadas
e a carga
está no ponto
com coordenadas
.
Passo 3
Queremos encontrar os pontos no espaço onde o potencial total
é igual a zero. Isso significa que a soma dos potenciais causados por cada carga deve ser zero:
Substituindo a fórmula do potencial:
Podemos simplificar dividindo tudo por
:
Passo 4
Agora, vamos entender
e
. Suponha que estamos procurando um ponto
no espaço onde
. A distância de
até a carga
é
e até a carga
é
.
Vamos assumir que o ponto
está na mesma linha que as cargas, ou seja, ao longo do eixo
. Assim, podemos simplificar nosso cálculo considerando apenas o deslocamento nesse eixo.
Passo 5
Vamos chamar a posição de
no eixo
de
. Então:
Substituindo na equação do potencial:
Podemos multiplicar ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Simplificando:
Passo 6
Agora vamos resolver a equação
. Vamos considerar que
ou
.
Caso 1:
Caso 2:
Caso 3:
Mas
não satisfaz
, então descartamos esse caso.
Passo 7
Encontramos que os pontos onde
estão em
e
. No entanto,
está fora das cargas principais, então o ponto relevante é
.
Isso indica que a superfície onde
forma uma esfera centrada em
com raio
.
Resposta
A superfície equipotencial
é uma esfera de raio
centrada no ponto
.