Considere duas cargas puntiformes, 2 q e -q, separadas por uma distância I. mostre que a superfície equipotencial V=0 é uma esfera de raio 2 l / 3 centrada no ponto (41 / 3,0,0)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas cargas puntiformes: uma de e outra de , separadas por uma distância . O objetivo é mostrar que a superfície onde o potencial elétrico é zero forma uma esfera de raio e que essa esfera está centrada no ponto . Vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente sobre potencial elétrico e superfícies equipotenciais. Para isso, vamos precisar lembrar como calcular o potencial elétrico devido a cargas puntiformes e como encontrar os pontos onde a soma dos potenciais é zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o potencial elétrico V = k Qr gerado por uma carga puntiforme em um ponto a uma distância dela é dado pela fórmula:
onde é a constante eletrostática ( ²²).
No nosso caso, temos duas cargas: e . Vamos escolher um sistema de coordenadas onde a carga está no ponto com coordenadas e a carga está no ponto com coordenadas .

Passo 3

Queremos encontrar os pontos no espaço onde o potencial total Vtotal = V2q + V-q = 0 é igual a zero. Isso significa que a soma dos potenciais causados por cada carga deve ser zero:
k 2qr1 + k -qr2 = 0
Substituindo a fórmula do potencial:
2qr1 - qr2 = 0
Podemos simplificar dividindo tudo por :

Passo 4

Agora, vamos entender r1 = distância de P até 2q e r2 = distância de P até -q . Suponha que estamos procurando um ponto no espaço onde . A distância de até a carga é e até a carga é .
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Vamos assumir que o ponto está na mesma linha que as cargas, ou seja, ao longo do eixo . Assim, podemos simplificar nosso cálculo considerando apenas o deslocamento nesse eixo.

Passo 5

Vamos chamar a posição de r1 = |x - 0| = |x| no eixo r2 = |x - l| de 2q|x| - q|x - l| = 0 . Então:
2q |x - l| - q |x| = 0
2|x - l| = |x|
Substituindo na equação do potencial:
Podemos multiplicar ambos os lados por para eliminar os denominadores:
Simplificando:

Passo 6

Agora vamos resolver a equação 2(x - l) = x Rightarrow 2x - 2l = x Rightarrow x = 2l . Vamos considerar que 2(l - x) = x Rightarrow 2l - 2x = x Rightarrow 2l = 3x Rightarrow x = 2l3 ou 2(l - x) = -x Rightarrow 2l - 2x = -x Rightarrow 2l = x .
Caso 1:
Caso 2:
Caso 3:
Mas não satisfaz , então descartamos esse caso.

Passo 7

Encontramos que os pontos onde estão em e . No entanto, está fora das cargas principais, então o ponto relevante é .
Isso indica que a superfície onde forma uma esfera centrada em com raio .

Resposta

A superfície equipotencial é uma esfera de raio centrada no ponto .

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