Considere duas cascas cilíndricas concêntricas cujos comprimentos sejam muito maiores do que os seus diâmetros, de forma que possam ser modelados como se seus comprimentos fossem infinitos. Sabendo que uma delas, com raio igual a 8 cm e emissividade igual a 0,8 , está à temperatura de 400 K e que a outra, com raio de 4 cm e emissividade igual a 0,5 , está a 300 K . Determine a taxa líquida de calor radiante por unidade de comprimento transferida entre as cascas cilíndricas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre duas cascas cilíndricas que estão uma dentro da outra, com comprimentos tão grandes que a gente pode pensar que são infinitas. A primeira casca tem raio de 8 cm, emissividade de 0,8 e está a 400 K. A segunda tem raio de 4 cm, emissividade de 0,5 e está a 300 K. Nosso objetivo é descobrir a taxa líquida de calor radiante por unidade de comprimento que está sendo transferida entre essas cascas.
Vamos precisar usar os conceitos de radiação térmica e as leis que descrevem a transferência de calor por radiação entre superfícies cilíndricas. Também vamos usar a constante de Stefan-Boltzmann que é fundamental nesses cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da Lei de Stefan-Boltzmann, que diz que a potência radiada por uma superfície é proporcional à sua emissividade, à sua área e ao quarto poder da temperatura absoluta:
P = epsilon sigma A T^4
Onde:
  • é a potência radiada,
  • é a emissividade,
  • é a constante de Stefan-Boltzmann ( ),
  • é a área,
  • é a temperatura em Kelvin.

Passo 3

Como as cascas são cilíndricas e têm comprimentos infinitos, vamos calcular a taxa de calor por unidade de comprimento. A área de superfície de um cilindro por unidade de comprimento é dada por:
A = 2pi r cdot 1 = 2pi r
Onde é o raio do cilindro.

Passo 4

Vamos calcular a potência radiada pela casca interna (raio 4 cm) e pela casca externa (raio 8 cm).
Para a casca interna:
  • P1 = epsilon1 sigma 2pi r1 T1^4
  • P2 = epsilon2 sigma 2pi r2 T2^4
A potência irradiada pela casca interna por unidade de comprimento é:
Para a casca externa:
A potência irradiada pela casca externa por unidade de comprimento é:

Passo 5

Entretanto, na troca de calor entre as duas cascas, apenas a diferença de potência importa. Assim, a taxa líquida de calor transferido por unidade de comprimento será dada por:
Q = P2 - P1 = epsilon2 sigma 2pi r2 T2^4 - epsilon1 sigma 2pi r1 T1^4

Passo 6

Agora, vamos substituir os valores conhecidos na equação:
Q = 0,8 times 5,67 times 10^-8 times 2pi times 0,08 times 400^4 - 0,5 times 5,67 times 10^-8 times 2pi times 0,04 times 300^4

Passo 7

Calculando cada termo separadamente:
Primeiro, para a casca externa:
Q2 = 0,8 times 5,67 times 10^-8 times 2pi times 0,08 times 400^4
Calculando Q2 = 0,8 times 5,67 times 10^-8 times 2pi times 0,08 times 2,56 times 10^10 .
Então,
Q1 = 0,5 times 5,67 times 10^-8 times 2pi times 0,04 times 300^4
Calculando isso dá aproximadamente Q1 = 0,5 times 5,67 times 10^-8 times 2pi times 0,04 times 8,1 times 10^9 .
Para a casca interna:
Calculando .
Então,
Calculando isso dá aproximadamente .

Passo 8

Subtraindo Q = 2315 , W/m - 289 , W/m = 2026 , W/m de :

Resposta

A taxa líquida de calor radiante transferida entre as cascas cilíndricas por unidade de comprimento é aproximadamente 2026 W/m.

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