Considere duas cascas esféricas concêntricas em que a diferença entre o raio da casca externa R1 e da casca interna R2 é b. Admita que a casca interna está uniformemente carregada com densidade superficial de carga sigma, enquanto que a mais externa está uniformemente carregada com -sigma.De posse dessas informações, determine a capacitância da região entre as cargas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre duas cascas esféricas que são concêntricas, ou seja, têm o mesmo centro. A diferença entre os raios delas é b. A casca interna tem uma densidade superficial de carga sigma, e a externa tem -sigma. Nosso objetivo aqui é encontrar a capacitância da região entre essas duas cascas. Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente sobre capacitores esféricos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a capacitância ( C) de um capacitor é uma medida de quanto carga pode ser armazenada por unidade de potencial. A fórmula geral para capacitância é C = QV, onde Q é a carga e V é a diferença de potencial entre as duas placas (no nosso caso, as cascas esféricas).

Passo 3

Vamos determinar a carga Q na casca interna. A densidade superficial de carga sigma é a carga por unidade de área. Como a casca interna é esférica, a área ( A) dela é 4pi R2^2. Então, a carga total é:
Q = sigma cdot A = sigma cdot 4pi R2^2

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a diferença de potencial V entre as duas cascas. Para isso, usamos a fórmula do potencial elétrico devido a uma casca esférica:
Para a casca interna:
V1 = 14pi epsilon0 cdot QR1
Para a casca externa (que tem carga -Q):
V2 = 14pi epsilon0 cdot -QR2
A diferença de potencial V é V = V1 - V2:
V = 14pi epsilon0 cdot ( QR1 - -QR2 ) = 14pi epsilon0 cdot Q ( 1R1 + 1R2 )

Passo 5

Substituindo Q na expressão de V:
V = 14pi epsilon0 cdot sigma cdot 4pi R2^2 ( 1R1 + 1R2 ) = sigma R2^2epsilon0 ( 1R1 + 1R2 )
Simplificando:
V = sigma R2^2epsilon0 cdot R1 + R2R1 R2 = sigma (R1 + R2)epsilon0 R1

Passo 6

Agora, voltamos à fórmula da capacitância C = QV:
C = sigma cdot 4pi R2^2sigma (R1 + R2)epsilon0 R1 = 4pi epsilon0 R1 R2^2R1 + R2

Passo 7

Podemos simplificar a expressão reconhecendo que a diferença b = R1 - R2:
C = 4pi epsilon0 R1 R2R1 - R2 = 4pi epsilon0 R1 R2b

Resposta

A capacitância da região entre as cargas é:
C = 4pi epsilon0 R1 R2b

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