Considere duas finas cascas esféricas metálicas e concêntricas, de raio
e
, onde
. A casca externa tem uma carga Q , mas a interna está aterrada. Determine: b) o potencial
devido às duas cascas para todo o espaço.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos duas cascas esféricas metálicas, uma menor com raio $ a $ e outra maior com raio $ b $ ($ b > a $), que estão concentradas uma dentro da outra. A casca externa tem uma carga $ Q $ e a interna está aterrada, ou seja, seu potencial é zero. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é o potencial elétrico $ V® $ gerado por essas duas cascas em todo o espaço ao redor delas.
Para resolver isso, vamos precisar entender Lei de Gauss e como calcular o potencial elétrico devido a distribuições de carga esféricas. Vamos dividir a resolução em partes para facilitar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a Lei de Gauss é uma ferramenta poderosa para encontrar campos elétricos devido a distribuições de carga com certa simetria. No caso de esferas concêntricas, a simetria esférica simplifica muito as contas.
Além disso, o potencial elétrico $ V® $ em um ponto é relacionado ao campo elétrico $ E® $ pela relação:
Mas, para esferas concêntricas, podemos usar propriedades específicas para facilitar o cálculo.
Passo 3
Vamos analisar o problema em três regiões diferentes:
- Dentro da casca interna ($ r < a $)
- Entre as duas cascas ($ a < r < b $)
- Fora das cascas ($ r > b $)
Isso porque o comportamento do campo elétrico e, consequentemente, do potencial, muda dependendo de onde estamos medindo.
Passo 4
1. Região $ r < a $:
Dentro da casca interna aterrada, o potencial é zero. Como a casca interna está aterrada, ela mantém o potencial $ V = 0 $ em toda a sua superfície e, por simetria, dentro dela também.
2. Região $ a < r < b $:
Entre as duas cascas, somente a casca interna pode influenciar o potencial. Porém, como a casca interna está aterrada e não possui carga própria (a casca externa tem carga $ Q
r = a $) o potencial é zero, então:
Passo 5
3. Região $ r > b $:
Fora das cascas, todo o sistema pode ser considerado como uma única carga $ Q $ distribuída na casca externa. O potencial devido a uma carga concentrada em uma esfera é dado por:
Aqui, $ \varepsilon_0 $ é a permissividade do vácuo.
Passo 6
Resumindo, juntando todas as regiões, o potencial $ V® $ devido às duas cascas é dado por:
Isso significa que, dentro e entre as cascas, o potencial é zero, e só fora da casca externa é que o potencial não é nulo, variando inversamente com a distância $ r $.
Resposta
O potencial $ V® $ devido às duas cascas esféricas é dado por: