Considere duas partículas, m1 e m2, inicialmente com velocidades v1 e v2 unidimensionais. Depois de certo tempo elas colidem elasticamente em uma dimensão.
a) Calcule as velocidades das partículas depois da colisão
b) O que podemos dizer das velocidades relativas das partículas antes e depois da colisão? Justifique.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o enunciado está pedindo. Temos duas partículas, m1 e m2, que estão se movendo em uma direção com velocidades iniciais v1 e v2, respectivamente. Essas partículas colidem de forma elástica, ou seja, sem perda de energia. Para resolver essa questão, vamos precisar aplicar as leis de conservação de momento e de energia cinética.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Lei da Conservação do Momento. Essa lei diz que o momento total antes da colisão é igual ao momento total depois da colisão. A fórmula para o momento ( p) de uma partícula é:
p = m cdot v
onde m é a massa e v é a velocidade.
Então, a conservação do momento fica:
m1v1 + m2v2 = m1v1' + m2v2'
Aqui, v1' e v2' são as velocidades das partículas após a colisão.

Passo 3

Agora, vamos considerar a Conservação da Energia Cinética. Em uma colisão elástica, a energia cinética total também é conservada. A energia cinética ( KE) de uma partícula é dada por:
KE = 12mv^2
Então, a conservação da energia cinética fica:
12m1v1^2 + 12m2v2^2 = 12m1v1'^2 + 12m2v2'^2
Podemos simplificar multiplicando todos os termos por 2:
m1v1^2 + m2v2^2 = m1v1'^2 + m2v2'^2

Passo 4

Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas ( v1' e v2'). Para resolver esse sistema, podemos usar as fórmulas diretamente derivadas da conservação do momento e da energia cinética para colisões elásticas em uma dimensão:
v1' = ( m1 - m2m1 + m2 )v1 + ( 2m2m1 + m2 )v2
v2' = ( 2m1m1 + m2 )v1 + ( m2 - m1m1 + m2 )v2

Passo 5

Essas fórmulas nos dão as velocidades das partículas após a colisão. Basta substituir os valores das massas e das velocidades iniciais para encontrar v1' e v2'.

Passo 6

Quanto à parte b) da questão, podemos analisar as velocidades relativas das partículas antes e depois da colisão. Em uma colisão elástica em uma dimensão, as velocidades relativas das partículas são invertidas após a colisão. Isso significa que:
v1 - v2 = -(v1' - v2')
Ou seja, a diferença nas velocidades antes da colisão é igual à diferença invertida após a colisão. Isso acontece porque na colisão elástica, não há perda de energia cinética, e as partículas “trocam” suas velocidades relativas.

Resposta

As velocidades relativas das partículas antes da colisão são iguais às velocidades relativas após a colisão, mas com sinais invertidos. Isso significa que:
v1 - v2 = -(v1' - v2')
Essa inversão indica que, após a colisão, a direção relativa do movimento das partículas se inverte, mantendo a conservação da energia e do momento.

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