Umi quadrupolo elétrico consisté de dois dipolos elétricos cujos momentos de dipolo,
, possuem módulos iguais, mas sentidos opostos. (a) Determine a expressão do vetor campo elétrico
em um ponto
a uma distancia
do ponto médio do quadrupolo. (b) Para
, obtenha a expressão de
(módulo) em função do momento de quadrupolo (
).
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um quadrupolo elétrico formado por dois dipolos elétricos que têm o mesmo tamanho, mas sentidos opostos. Nosso objetivo aqui é encontrar o campo elétrico
num ponto
que tá a uma distância
do ponto médio do quadrupolo. Além disso, vamos ver como esse campo se comporta quando
é muito maior que a distância
entre as cargas, usando o momento de quadrupolo
. Pra isso, vamos precisar conhecer a definição de dipolo elétrico e como calcular o campo elétrico gerado por ele.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um dipolo elétrico é formado por duas cargas iguais e opostas separadas por uma distância. O momento de dipolo,
, é dado por
, onde
é a carga e
a distância entre elas. No nosso caso, temos dois dipolos com momentos iguais, mas com sentidos opostos.
Passo 3
Para calcular o campo elétrico total no ponto
, a gente precisa somar os campos elétricos gerados por cada dipolo individualmente. Vamos supor que os dipolos estão alinhados ao longo do eixo central do quadrupolo, e o ponto
está distante
desse eixo. Como os momentos de dipolo são opostos, os campos elétricos gerados por cada um vão se combinar de uma forma específica.
Passo 4
O campo elétrico de um dipolo elétrico em uma distância
ao longo do eixo do dipolo é dado por:
Como temos dois dipolos com momentos opostos, o campo total
será a soma dos campos dos dois dipolos.
Passo 5
Calculando o campo total:
Mas isso não faz sentido, porque um quadrupolo deveria ter um campo diferente de zero. O erro aqui é que os dipolos estão separados, então precisamos considerar a interação entre eles.
Passo 6
Para um quadrupolo, o campo elétrico em uma distância
é dado por uma expressão que envolve o segundo momento dos dipolos. A fórmula geral para o campo elétrico de um quadrupolo é:
onde
é o momento de quadrupolo, que no nosso caso é
.
Passo 7
Substituindo
na expressão do campo elétrico:
Resposta
A expressão do vetor campo elétrico no ponto
é:
E para
, o módulo do campo elétrico em função do momento de quadrupolo
é:
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