Umi quadrupolo elétrico consisté de dois dipolos elétricos cujos momentos de dipolo, , possuem módulos iguais, mas sentidos opostos. (a) Determine a expressão do vetor campo elétrico em um ponto a uma distancia do ponto médio do quadrupolo. (b) Para , obtenha a expressão de (módulo) em função do momento de quadrupolo ( ).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um quadrupolo elétrico formado por dois dipolos elétricos que têm o mesmo tamanho, mas sentidos opostos. Nosso objetivo aqui é encontrar o campo elétrico num ponto que tá a uma distância do ponto médio do quadrupolo. Além disso, vamos ver como esse campo se comporta quando é muito maior que a distância entre as cargas, usando o momento de quadrupolo . Pra isso, vamos precisar conhecer a definição de dipolo elétrico e como calcular o campo elétrico gerado por ele.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um dipolo elétrico é formado por duas cargas iguais e opostas separadas por uma distância. O momento de dipolo, , é dado por , onde é a carga e a distância entre elas. No nosso caso, temos dois dipolos com momentos iguais, mas com sentidos opostos.

Passo 3

Para calcular o campo elétrico total no ponto , a gente precisa somar os campos elétricos gerados por cada dipolo individualmente. Vamos supor que os dipolos estão alinhados ao longo do eixo central do quadrupolo, e o ponto está distante desse eixo. Como os momentos de dipolo são opostos, os campos elétricos gerados por cada um vão se combinar de uma forma específica.

Passo 4

O campo elétrico de um dipolo elétrico em uma distância ao longo do eixo do dipolo é dado por:
Como temos dois dipolos com momentos opostos, o campo total será a soma dos campos dos dois dipolos.

Passo 5

Calculando o campo total:
Mas isso não faz sentido, porque um quadrupolo deveria ter um campo diferente de zero. O erro aqui é que os dipolos estão separados, então precisamos considerar a interação entre eles.

Passo 6

Para um quadrupolo, o campo elétrico em uma distância é dado por uma expressão que envolve o segundo momento dos dipolos. A fórmula geral para o campo elétrico de um quadrupolo é:
onde é o momento de quadrupolo, que no nosso caso é .

Passo 7

Substituindo na expressão do campo elétrico:

Resposta

A expressão do vetor campo elétrico no ponto é:
E para , o módulo do campo elétrico em função do momento de quadrupolo é:

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