Umi quadrupolo elétrico consisté de dois dipolos elétricos cujos momentos de dipolo, p=q d, possuem módulos iguais, mas sentidos opostos. (a) Determine a expressão do vetor campo elétrico E em um ponto P a uma distancia x do ponto médio do quadrupolo. (b) Para x gg d, obtenha a expressão de E (módulo) em função do momento de quadrupolo ( Q=2 q d^2 ).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um quadrupolo elétrico formado por dois dipolos elétricos que têm o mesmo tamanho, mas sentidos opostos. Nosso objetivo aqui é encontrar o campo elétrico E num ponto P que tá a uma distância x do ponto médio do quadrupolo. Além disso, vamos ver como esse campo se comporta quando x é muito maior que a distância d entre as cargas, usando o momento de quadrupolo Q = 2 q d^2. Pra isso, vamos precisar conhecer a definição de dipolo elétrico e como calcular o campo elétrico gerado por ele.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um dipolo elétrico é formado por duas cargas iguais e opostas separadas por uma distância. O momento de dipolo, p, é dado por p = q d, onde q é a carga e d a distância entre elas. No nosso caso, temos dois dipolos com momentos iguais, mas com sentidos opostos.

Passo 3

Para calcular o campo elétrico total no ponto P, a gente precisa somar os campos elétricos gerados por cada dipolo individualmente. Vamos supor que os dipolos estão alinhados ao longo do eixo central do quadrupolo, e o ponto P está distante x desse eixo. Como os momentos de dipolo são opostos, os campos elétricos gerados por cada um vão se combinar de uma forma específica.

Passo 4

O campo elétrico de um dipolo elétrico em uma distância x ao longo do eixo do dipolo é dado por:
Edipolo = 14pivarepsilon0 cdot 2 px^3 x
Como temos dois dipolos com momentos opostos, o campo total E será a soma dos campos dos dois dipolos.

Passo 5

Calculando o campo total:
E = Edipolo1 + Edipolo2 = 14pivarepsilon0 cdot 2 px^3 x - 14pivarepsilon0 cdot 2 px^3 x = 0
Mas isso não faz sentido, porque um quadrupolo deveria ter um campo diferente de zero. O erro aqui é que os dipolos estão separados, então precisamos considerar a interação entre eles.

Passo 6

Para um quadrupolo, o campo elétrico em uma distância x é dado por uma expressão que envolve o segundo momento dos dipolos. A fórmula geral para o campo elétrico de um quadrupolo é:
E = 14pivarepsilon0 cdot 3 Qx^4 x
onde Q é o momento de quadrupolo, que no nosso caso é Q = 2 q d^2.

Passo 7

Substituindo Q na expressão do campo elétrico:
E = 14pivarepsilon0 cdot 3 cdot 2 q d^2x^4 x = 32pivarepsilon0 cdot q d^2x^4 x

Resposta

A expressão do vetor campo elétrico no ponto P é:
E = 32pivarepsilon0 cdot q d^2x^4 x
E para x gg d, o módulo do campo elétrico em função do momento de quadrupolo Q = 2 q d^2 é:
E = 3 Q4pivarepsilon0 x^4

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