Considere duas partículas movendo-se sem vínculos em três dimensões, com energia potencial .
(a) Obtenha as seis equações de movimento a partir da aplicação da segunda lei de Newton para cada partícula.
(b) Obtenha a Lagrangiana e mostre que as seis equações de Lagrange são as mesmas que as seis equações de Newton do item (a).

Passo 1

Então, temos um exercício de mecânica envolvendo duas partículas que se movem em três dimensões sem nenhum tipo de restrição, e existe uma energia potencial que depende das posições das partículas. A gente precisa resolver duas partes: primeiro, aplicar a segunda lei de Newton para cada partícula e conseguir seis equações de movimento. Depois, construir a Lagrangiana e mostrar que aplicando as equações de Lagrange elas ficam iguais às equações de Newton que fizemos na primeira parte.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a). A segunda lei de Newton diz que a força resultante sobre uma partícula é igual ao produto da sua massa pela sua aceleração, ou seja, . Aqui, como temos duas partículas, vamos aplicar isso para cada uma delas.

Passo 3

Primeiro, definimos as posições das partículas como vetores e . As acelerações são as segundas derivadas dessas posições em relação ao tempo: e .

Passo 4

A energia potencial depende das posições das partículas, então a força sobre cada partícula é o negativo do gradiente dessa energia potencial em relação à sua posição. Matemáticamente, para a primeira partícula:
E para a segunda partícula:

Passo 5

Aplicando a segunda lei de Newton para cada partícula, temos:
Como cada vetor posição tem três componentes (x, y, z), essas equações dão um total de seis equações de movimento.

Passo 6

Agora, vamos para a parte (b). A Lagrangiana é definida como a diferença entre a energia cinética e a energia potencial :
A energia cinética total das duas partículas é:
Então, a Lagrangiana fica:

Passo 7

Para encontrar as equações de movimento usando a Lagrangiana, usamos as equações de Lagrange:
Vamos calcular isso para cada partícula.

Passo 8

Para :
Então, substituindo na equação de Lagrange:
Que é a mesma equação de Newton que obtivemos na parte (a).

Passo 9

Fazendo o mesmo para :
Substituindo na equação de Lagrange:
Que também coincide com a segunda equação de Newton da parte (a).

Resposta

Assim, mostramos que as seis equações de Lagrange derivadas da Lagrangiana são exatamente as mesmas que obtemos aplicando a segunda lei de Newton para cada partícula.

Exercícios relacionados

Obtenha a Lagrangiana para um projétil (livre da resistência do ar) em termos de suas coordenadas Cartesianas com medido verticalmente para cima. Determine as três equações de Lagrange e mostre que elas são exatamente o que você esperava para as equações de movimento.
O trabalho é uma grandeza escalar ou vetorial?
Duas massas e se movem em um plano e interagem por uma energia potencial . Obtenha a Lagrangiana em termos do CM e posições relativas e e determine as equações de movimento para as coordenadas e . Descreva o movimento e determine a frequência do movimento relativo.
Quais as duas formas fundamentais de energia?