Considere duas partículas movendo-se sem vínculos em três dimensões, com energia potencial U(r1, r2).
(a) Obtenha as seis equações de movimento a partir da aplicação da segunda lei de Newton para cada partícula.
(b) Obtenha a Lagrangiana L(r1, r2, dotr1, dotr2)=T-U e mostre que as seis equações de Lagrange são as mesmas que as seis equações de Newton do item (a).

Passo 1

Então, temos um exercício de mecânica envolvendo duas partículas que se movem em três dimensões sem nenhum tipo de restrição, e existe uma energia potencial que depende das posições das partículas. A gente precisa resolver duas partes: primeiro, aplicar a segunda lei de Newton para cada partícula e conseguir seis equações de movimento. Depois, construir a Lagrangiana e mostrar que aplicando as equações de Lagrange elas ficam iguais às equações de Newton que fizemos na primeira parte.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a). A segunda lei de Newton diz que a força resultante sobre uma partícula é igual ao produto da sua massa pela sua aceleração, ou seja, . Aqui, como temos duas partículas, vamos aplicar isso para cada uma delas.

Passo 3

Primeiro, definimos as posições das partículas como vetores e . As acelerações são as segundas derivadas dessas posições em relação ao tempo: e .

Passo 4

A energia potencial F1 = -nablar1 U(r1, r2) depende das posições das partículas, então a força sobre cada partícula é o negativo do gradiente dessa energia potencial em relação à sua posição. Matemáticamente, para a primeira partícula:
F2 = -nablar2 U(r1, r2)
E para a segunda partícula:

Passo 5

Aplicando a segunda lei de Newton para cada partícula, temos:
m1 ddotr1 = -nablar1 U(r1, r2)
m2 ddotr2 = -nablar2 U(r1, r2)
Como cada vetor posição tem três componentes (x, y, z), essas equações dão um total de seis equações de movimento.

Passo 6

Agora, vamos para a parte (b). A Lagrangiana é definida como a diferença entre a energia cinética L = T - U e a energia potencial T = 12 m1 dotr1^2 + 12 m2 dotr2^2 :
L = 12 m1 dotr1^2 + 12 m2 dotr2^2 - U(r1, r2)
A energia cinética total das duas partículas é:
Então, a Lagrangiana fica:

Passo 7

Para encontrar as equações de movimento usando a Lagrangiana, usamos as equações de Lagrange:
ddt ( partial Lpartial dotri ) - partial Lpartial ri = 0 para i = 1, 2
Vamos calcular isso para cada partícula.

Passo 8

Para partial Lpartial dotr1 = m1 dotr1 :
ddt ( m1 dotr1 ) = m1 ddotr1
partial Lpartial r1 = -partial Upartial r1
m1 ddotr1 + partial Upartial r1 = 0
Então, substituindo na equação de Lagrange:
Que é a mesma equação de Newton que obtivemos na parte (a).

Passo 9

Fazendo o mesmo para partial Lpartial dotr2 = m2 dotr2 :
ddt ( m2 dotr2 ) = m2 ddotr2
partial Lpartial r2 = -partial Upartial r2
m2 ddotr2 + partial Upartial r2 = 0
Substituindo na equação de Lagrange:
Que também coincide com a segunda equação de Newton da parte (a).

Resposta

Assim, mostramos que as seis equações de Lagrange derivadas da Lagrangiana são exatamente as mesmas que obtemos aplicando a segunda lei de Newton para cada partícula.

Exercícios relacionados