Considere duas partículas movendo-se sem vínculos em três dimensões, com energia potencial
.
(a) Obtenha as seis equações de movimento a partir da aplicação da segunda lei de Newton para cada partícula.
(b) Obtenha a Lagrangiana
e mostre que as seis equações de Lagrange são as mesmas que as seis equações de Newton do item (a).
(a) Obtenha as seis equações de movimento a partir da aplicação da segunda lei de Newton para cada partícula.
(b) Obtenha a Lagrangiana
Passo 1
Então, temos um exercício de mecânica envolvendo duas partículas que se movem em três dimensões sem nenhum tipo de restrição, e existe uma energia potencial
que depende das posições das partículas. A gente precisa resolver duas partes: primeiro, aplicar a segunda lei de Newton para cada partícula e conseguir seis equações de movimento. Depois, construir a Lagrangiana
e mostrar que aplicando as equações de Lagrange elas ficam iguais às equações de Newton que fizemos na primeira parte.
Passo 2
Vamos começar com a parte (a). A segunda lei de Newton diz que a força resultante sobre uma partícula é igual ao produto da sua massa pela sua aceleração, ou seja,
. Aqui, como temos duas partículas, vamos aplicar isso para cada uma delas.
Passo 3
Primeiro, definimos as posições das partículas como vetores
e
. As acelerações são as segundas derivadas dessas posições em relação ao tempo:
e
.
Passo 4
A energia potencial
depende das posições das partículas, então a força sobre cada partícula é o negativo do gradiente dessa energia potencial em relação à sua posição. Matemáticamente, para a primeira partícula:
E para a segunda partícula:
Passo 5
Aplicando a segunda lei de Newton para cada partícula, temos:
Como cada vetor posição tem três componentes (x, y, z), essas equações dão um total de seis equações de movimento.
Passo 6
Agora, vamos para a parte (b). A Lagrangiana é definida como a diferença entre a energia cinética
e a energia potencial
:
A energia cinética total das duas partículas é:
Então, a Lagrangiana fica:
Passo 7
Para encontrar as equações de movimento usando a Lagrangiana, usamos as equações de Lagrange:
Vamos calcular isso para cada partícula.
Passo 8
Para
:
Então, substituindo na equação de Lagrange:
Que é a mesma equação de Newton que obtivemos na parte (a).
Passo 9
Fazendo o mesmo para
:
Substituindo na equação de Lagrange:
Que também coincide com a segunda equação de Newton da parte (a).
Resposta
Assim, mostramos que as seis equações de Lagrange derivadas da Lagrangiana
são exatamente as mesmas que obtemos aplicando a segunda lei de Newton para cada partícula.
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e
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e
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e
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