Obtenha a Lagrangiana para um projétil (livre da resistência do ar) em termos de suas coordenadas Cartesianas
com
medido verticalmente para cima. Determine as três equações de Lagrange e mostre que elas são exatamente o que você esperava para as equações de movimento.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a Lagrangiana de um projétil que não sente resistência do ar, usando as coordenadas cartesianas
, onde
é a direção vertical pra cima. Depois, precisamos determinar as três equações de Lagrange e mostrar que elas correspondem às equações de movimento que a gente já conhece. Vamos precisar usar conceitos de mecânica clássica, especificamente Lagrangiana, que é uma forma de formular as leis do movimento.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Lagrangiana. Ela é definida como a diferença entre a energia cinética (
) e a energia potencial (
) do sistema:
No nosso caso, o projétil se move em três dimensões, então vamos calcular
e
em termos das coordenadas
.
Passo 3
A energia cinética (
) de um objeto é dada por:
onde
é a massa do projétil e
é a velocidade. Em termos das coordenadas,
é:
Então, substituindo na expressão de
:
Passo 4
Agora, vamos calcular a energia potencial (
). Como o projétil está sujeito apenas à gravidade, que atua na direção vertical (
), a energia potencial é:
onde
é a aceleração da gravidade.
Passo 5
Com as expressões para
e
, podemos escrever a Lagrangiana:
Passo 6
Agora, vamos usar as equações de Lagrange para cada coordenada. A equação de Lagrange é:
onde
são as coordenadas generalizadas (no nosso caso,
,
,
) e
são as derivadas em relação ao tempo.
Passo 7
Vamos começar com a coordenada
:
- Calculamos
:
- Derivamos isso em relação ao tempo:
- Calculamos
:
- Aplicando a equação de Lagrange:
Passo 8
Agora, para a coordenada
:
- Calculamos
:
- Derivamos isso em relação ao tempo:
- Calculamos
:
- Aplicando a equação de Lagrange:
Passo 9
Por último, para a coordenada
:
- Calculamos
:
- Derivamos isso em relação ao tempo:
- Calculamos
:
- Aplicando a equação de Lagrange:
Resposta
A Lagrangiana do projétil é:
As equações de Lagrange obtidas são:
Estas correspondem exatamente às equações de movimento esperadas para um projétil sem resistência do ar, onde as acelerações horizontais (
e
) são nulas e a aceleração vertical (
) é igual à aceleração da gravidade
.
Exercícios relacionados
O trabalho é uma grandeza escalar ou vetorial?
Usando a Lagrangiana
, obtenha as três equações de movimento para as coordenadas relativas
e
e mostre claramente que o movimento da posição relativa
é o mesmo que o de uma única partícula com posição
, energia potencial
e massa igual à massa reduzida
.
Considere duas partículas movendo-se sem vínculos em três dimensões, com energia potencial
.
(a) Obtenha as seis equações de movimento a partir da aplicação da segunda lei de Newton para cada partícula.
(b) Obtenha a Lagrangiana e mostre que as seis equações de Lagrange são as mesmas que as seis equações de Newton do item (a).
(a) Obtenha as seis equações de movimento a partir da aplicação da segunda lei de Newton para cada partícula.
(b) Obtenha a Lagrangiana
Duas massas
e
se movem em um plano e interagem por uma energia potencial
. Obtenha a Lagrangiana em termos do CM e posições relativas
e
e determine as equações de movimento para as coordenadas
e
. Descreva o movimento e determine a frequência do movimento relativo.