Obtenha a Lagrangiana para um projétil (livre da resistência do ar) em termos de suas coordenadas Cartesianas (x, y, z) com z medido verticalmente para cima. Determine as três equações de Lagrange e mostre que elas são exatamente o que você esperava para as equações de movimento.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a Lagrangiana de um projétil que não sente resistência do ar, usando as coordenadas cartesianas (x, y, z), onde z é a direção vertical pra cima. Depois, precisamos determinar as três equações de Lagrange e mostrar que elas correspondem às equações de movimento que a gente já conhece. Vamos precisar usar conceitos de mecânica clássica, especificamente Lagrangiana, que é uma forma de formular as leis do movimento.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Lagrangiana. Ela é definida como a diferença entre a energia cinética ( T) e a energia potencial ( V) do sistema:
L = T - V
No nosso caso, o projétil se move em três dimensões, então vamos calcular T e V em termos das coordenadas (x, y, z).

Passo 3

A energia cinética ( T) de um objeto é dada por:
T = 12 m v^2
onde m é a massa do projétil e v é a velocidade. Em termos das coordenadas, v^2 é:
v^2 = (dxdt)^2 + (dydt)^2 + (dzdt)^2
Então, substituindo na expressão de T:
T = 12 m ( (dxdt)^2 + (dydt)^2 + (dzdt)^2 )

Passo 4

Agora, vamos calcular a energia potencial ( V). Como o projétil está sujeito apenas à gravidade, que atua na direção vertical ( z), a energia potencial é:
V = m g z
onde g é a aceleração da gravidade.

Passo 5

Com as expressões para T e V, podemos escrever a Lagrangiana:
L = T - V = 12 m ( (dxdt)^2 + (dydt)^2 + (dzdt)^2 ) - m g z

Passo 6

Agora, vamos usar as equações de Lagrange para cada coordenada. A equação de Lagrange é:
ddt ( partial Lpartial dotqi ) - partial Lpartial qi = 0
onde qi são as coordenadas generalizadas (no nosso caso, x, y, z) e dotqi são as derivadas em relação ao tempo.

Passo 7

Vamos começar com a coordenada x:
  1. Calculamos partial Lpartial dotx:
partial Lpartial dotx = m dotx
  1. Derivamos isso em relação ao tempo:
ddt ( m dotx ) = m ddotx
  1. Calculamos partial Lpartial x:
partial Lpartial x = 0
  1. Aplicando a equação de Lagrange:
m ddotx - 0 = 0 Rightarrow ddotx = 0

Passo 8

Agora, para a coordenada y:
  1. Calculamos partial Lpartial doty:
partial Lpartial doty = m doty
  1. Derivamos isso em relação ao tempo:
ddt ( m doty ) = m ddoty
  1. Calculamos partial Lpartial y:
partial Lpartial y = 0
  1. Aplicando a equação de Lagrange:
m ddoty - 0 = 0 Rightarrow ddoty = 0

Passo 9

Por último, para a coordenada z:
  1. Calculamos partial Lpartial dotz:
partial Lpartial dotz = m dotz
  1. Derivamos isso em relação ao tempo:
ddt ( m dotz ) = m ddotz
  1. Calculamos partial Lpartial z:
partial Lpartial z = -m g
  1. Aplicando a equação de Lagrange:
m ddotz - (-m g) = 0 Rightarrow ddotz = g

Resposta

A Lagrangiana do projétil é:
L = 12 m ( dotx^2 + doty^2 + dotz^2 ) - m g z
As equações de Lagrange obtidas são:
ddotx = 0, ddoty = 0, ddotz = g
Estas correspondem exatamente às equações de movimento esperadas para um projétil sem resistência do ar, onde as acelerações horizontais ( x e y) são nulas e a aceleração vertical ( z) é igual à aceleração da gravidade g.

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