Obtenha a Lagrangiana para um projétil (livre da resistência do ar) em termos de suas coordenadas Cartesianas com medido verticalmente para cima. Determine as três equações de Lagrange e mostre que elas são exatamente o que você esperava para as equações de movimento.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a Lagrangiana de um projétil que não sente resistência do ar, usando as coordenadas cartesianas , onde é a direção vertical pra cima. Depois, precisamos determinar as três equações de Lagrange e mostrar que elas correspondem às equações de movimento que a gente já conhece. Vamos precisar usar conceitos de mecânica clássica, especificamente Lagrangiana, que é uma forma de formular as leis do movimento.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Lagrangiana. Ela é definida como a diferença entre a energia cinética ( ) e a energia potencial ( ) do sistema:
No nosso caso, o projétil se move em três dimensões, então vamos calcular e em termos das coordenadas .

Passo 3

A energia cinética ( ) de um objeto é dada por:
onde é a massa do projétil e é a velocidade. Em termos das coordenadas, é:
Então, substituindo na expressão de :

Passo 4

Agora, vamos calcular a energia potencial ( ). Como o projétil está sujeito apenas à gravidade, que atua na direção vertical ( ), a energia potencial é:
onde é a aceleração da gravidade.

Passo 5

Com as expressões para e , podemos escrever a Lagrangiana:

Passo 6

Agora, vamos usar as equações de Lagrange para cada coordenada. A equação de Lagrange é:
onde são as coordenadas generalizadas (no nosso caso, , , ) e são as derivadas em relação ao tempo.

Passo 7

Vamos começar com a coordenada :
  1. Calculamos :
  1. Derivamos isso em relação ao tempo:
  1. Calculamos :
  1. Aplicando a equação de Lagrange:

Passo 8

Agora, para a coordenada :
  1. Calculamos :
  1. Derivamos isso em relação ao tempo:
  1. Calculamos :
  1. Aplicando a equação de Lagrange:

Passo 9

Por último, para a coordenada :
  1. Calculamos :
  1. Derivamos isso em relação ao tempo:
  1. Calculamos :
  1. Aplicando a equação de Lagrange:

Resposta

A Lagrangiana do projétil é:
As equações de Lagrange obtidas são:
Estas correspondem exatamente às equações de movimento esperadas para um projétil sem resistência do ar, onde as acelerações horizontais ( e ) são nulas e a aceleração vertical ( ) é igual à aceleração da gravidade .

Exercícios relacionados

O trabalho é uma grandeza escalar ou vetorial?
Usando a Lagrangiana , obtenha as três equações de movimento para as coordenadas relativas e e mostre claramente que o movimento da posição relativa é o mesmo que o de uma única partícula com posição , energia potencial e massa igual à massa reduzida .
Considere duas partículas movendo-se sem vínculos em três dimensões, com energia potencial .
(a) Obtenha as seis equações de movimento a partir da aplicação da segunda lei de Newton para cada partícula.
(b) Obtenha a Lagrangiana e mostre que as seis equações de Lagrange são as mesmas que as seis equações de Newton do item (a).
Duas massas e se movem em um plano e interagem por uma energia potencial . Obtenha a Lagrangiana em termos do CM e posições relativas e e determine as equações de movimento para as coordenadas e . Descreva o movimento e determine a frequência do movimento relativo.