Considere duas pessoas a 4km de distância uma da outra, localizadas em dois pontos A e B no solo. A pessoa no ponto A, olhando na direção de B, avistou, segundo um ângulo de 50⁰ (com a horizontal), um helicóptero. No mesmo instante, a pessoa no ponto B, olhando na direção de A, avistou o mesmo helicóptero segundo um ângulo de 45⁰ (com a horizontal). Aproximadamente, a que altura do solo o helicóptero estava naquele momento? Considere sen 45⁰ = cos 45⁰ e tg 50⁰ = 1,19.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem duas pessoas, uma em A e outra em B, separadas por 4 km no chão. Cada uma delas vê um helicóptero em ângulos diferentes: 50° de A e 45° de B. Nosso objetivo aqui é descobrir a altura do helicóptero em relação ao chão. Para resolver isso, vamos usar trigonometria, especificamente as funções tangente, seno e cosseno. Vamos precisar entender como essas funções relacionam os ângulos com os lados de um triângulo retângulo.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar um diagrama para visualizar a situação. Imagine que A está na posição (0,0) e B está na posição (4,0) km no plano. O helicóptero está em algum ponto acima do chão, digamos em (x, h), onde h é a altura que queremos encontrar e x é a distância horizontal do helicóptero em relação a A.
Passo 3
A pessoa em A vê o helicóptero em um ângulo de 50° com a horizontal. Isso significa que podemos usar a tangente desse ângulo para relacionar a altura h com a distância x:
Dado que
, podemos escrever:
Passo 4
Da mesma forma, a pessoa em B vê o helicóptero em um ângulo de 45° com a horizontal. Usando a tangente novamente:
Sabemos que
, então:
Isso nos dá:
Passo 5
Agora temos duas equações:
Vamos substituir a segunda equação na primeira para resolver para x:
Passo 6
Multiplicando ambos os lados por x para eliminar a fração:
Agora, somamos x em ambos os lados:
Passo 7
Isolando x:
Passo 8
Agora que encontramos x, podemos descobrir h usando a equação
:
Resposta
O helicóptero estava aproximadamente a 2,17 km de altura do solo naquele momento.