Considere duas pessoas a 4km de distância uma da outra, localizadas em dois pontos A e B no solo. A pessoa no ponto A, olhando na direção de B, avistou, segundo um ângulo de 50⁰ (com a horizontal), um helicóptero. No mesmo instante, a pessoa no ponto B, olhando na direção de A, avistou o mesmo helicóptero segundo um ângulo de 45⁰ (com a horizontal). Aproximadamente, a que altura do solo o helicóptero estava naquele momento? Considere sen 45⁰ = cos 45⁰ e tg 50⁰ = 1,19​.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas pessoas, uma em A e outra em B, separadas por 4 km no chão. Cada uma delas vê um helicóptero em ângulos diferentes: 50° de A e 45° de B. Nosso objetivo aqui é descobrir a altura do helicóptero em relação ao chão. Para resolver isso, vamos usar trigonometria, especificamente as funções tangente, seno e cosseno. Vamos precisar entender como essas funções relacionam os ângulos com os lados de um triângulo retângulo.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar um diagrama para visualizar a situação. Imagine que A está na posição (0,0) e B está na posição (4,0) km no plano. O helicóptero está em algum ponto acima do chão, digamos em (x, h), onde h é a altura que queremos encontrar e x é a distância horizontal do helicóptero em relação a A.

Passo 3

A pessoa em A vê o helicóptero em um ângulo de 50° com a horizontal. Isso significa que podemos usar a tangente desse ângulo para relacionar a altura h com a distância x:
tan(50°) = hx
Dado que tan(50°) = 1,19, podemos escrever:
1,19 = hx

Passo 4

Da mesma forma, a pessoa em B vê o helicóptero em um ângulo de 45° com a horizontal. Usando a tangente novamente:
tan(45°) = h4 - x
Sabemos que tan(45°) = 1, então:
1 = h4 - x
Isso nos dá:
h = 4 - x

Passo 5

Agora temos duas equações:
  1. 1,19 = hx
  2. h = 4 - x
Vamos substituir a segunda equação na primeira para resolver para x:
1,19 = 4 - xx

Passo 6

Multiplicando ambos os lados por x para eliminar a fração:
1,19x = 4 - x
Agora, somamos x em ambos os lados:
1,19x + x = 4
2,19x = 4

Passo 7

Isolando x:
x = 42,19 approx 1,83 km

Passo 8

Agora que encontramos x, podemos descobrir h usando a equação h = 4 - x:
h = 4 - 1,83 = 2,17 km

Resposta

O helicóptero estava aproximadamente a 2,17 km de altura do solo naquele momento.

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