Considere a função f: IR  IR definida por f(x) = 5x – 3.
a) Verifique se a função é crescente ou decrescente;
b) O zero da função;
c) O ponto onde a função intersecta o eixo y;
d) O gráfico da função;
e) Faça o estudo do sinal;

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão pede. Temos a função $ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ definida por $ f(x) = 5x - 3 $. O que a gente precisa fazer aqui é:
a) Verificar se a função é crescente ou decrescente;
b) Encontrar o zero da função;
c) Determinar o ponto onde a função corta o eixo $ y $;
d) Desenhar o gráfico da função;
e) Fazer o estudo do sinal da função.
Pra resolver tudo isso, vamos usar conceitos básicos de funções lineares, derivadas para determinar o comportamento crescente ou decrescente, e métodos simples de álgebra para encontrar zeros e interceptações.

Passo 2

a) Verificar se a função é crescente ou decrescente
Primeiro, precisamos entender se a função está subindo ou descendo conforme $ x $ aumenta. Para funções lineares da forma $ f(x) = ax + b $, o coeficiente $ a $ determina isso:
  • Se $ a > 0 $, a função é crescente.
  • Se $ a < 0 $, a função é decrescente.
No nosso caso, $ a = 5 $, que é maior que zero. Portanto, a função é crescente.

Passo 3

b) O zero da função
O zero da função é o valor de $ x $ que faz $ f(x) = 0 $. Para encontrar isso, resolvemos a equação:
x
Vamos isolar $ x $:
f(x) = 0
Então, o zero da função é $ x = \frac{3}{5} $.

Passo 4

c) O ponto onde a função intersecta o eixo $ y $
O ponto de interseção com o eixo $ y $ acontece quando $ x = 0 $. Vamos substituir $ x = 0 $ na função:
y
Portanto, a função corta o eixo $ y $ no ponto $ (0, -3) $.

Passo 5

d) O gráfico da função
Como nossa função é linear $ f(x) = 5x - 3 $, seu gráfico é uma reta. Sabemos dois pontos importantes para desenhá-la:
  1. O ponto onde a reta corta o eixo $ y $: $ (0, -3) $.
  2. O zero da função: $ \left(\frac{3}{5}, 0\right) $.
Com esses dois pontos, podemos traçar a reta que passa por eles. Além disso, já sabemos que a função é crescente, então a reta vai subindo da esquerda para a direita.

Passo 6

e) Estudo do sinal
Vamos analisar para quais valores de $ x $ a função $ f(x) = 5x - 3 $ é positiva, negativa ou zero.
  1. Quando $ f(x) > 0 $:
x
Então, para $ x > \frac{3}{5} $, a função é positiva.
  1. Quando $ f(x) < 0 $:
f(x) = 5x - 3
Então, para $ x < \frac{3}{5} $, a função é negativa.
  1. Quando $ f(x) = 0 $:
Já vimos que isso acontece quando $ x = \frac{3}{5} $.

Resposta

a) A função $ f(x) = 5x - 3 $ é crescente.
b) O zero da função é $ x = \frac{3}{5} $.
c) A função intersecta o eixo $ y $ no ponto $ (0, -3) $.
d) O gráfico da função é uma reta que passa pelos pontos $ (0, -3) $ e $ \left(\frac{3}{5}, 0\right) $, sendo crescente.
e)
f(x) = 5x - 3

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