Considere duas placas infinitas, paralelas ao plano x0 times z0 e em repouso para um certo referencial S0. A placa inferior (menor valor de y0 ) tem uma densidade de carga sigma0 e a superior uma densidade de carga -sigma0.
(b) Considere agora um referencial S que se move com velocidade v=v x com relação a S0. Usando os efeitos da contração espacial e dilatação temporal, determine as densidades de cargas e correntes para observadores em S. Em seguida, usando novamente as leis de Gauss e Ampère, determine os campos elétricos e magnéticos em S. Compare seu resultado com a lei de transformação dos campos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta duas placas infinitas e paralelas alinhadas no plano no referencial . A placa de baixo tem densidade de carga e a de cima tem densidade . Agora, temos que considerar um outro referencial que se move com velocidade em relação a . Nosso objetivo é determinar como as densidades de carga e as correntes aparecem nesse novo referencial , e então, usando as leis de Gauss e Ampère, encontrar os campos elétricos e magnéticos nesse referencial. Por fim, vamos comparar esses resultados com as leis de transformação dos campos eletromagnéticos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a movimentação do referencial afeta as densidades de carga das placas. Com o referencial em movimento, precisamos considerar os efeitos da contração espacial e da dilatação temporal da teoria da Relatividade Restrita de Einstein.
A contração espacial ocorre na direção do movimento, que nesse caso é ao longo do eixo . Isso significa que as distâncias medidas nessa direção são menores em comparadas a . A dilatação temporal indica que o tempo no referencial em movimento passa mais devagar do que em .

Passo 3

Vamos calcular a densidade de carga no novo referencial sigma = sigma0 gamma . A densidade de carga sigma' = gamma sigma0 está relacionada à densidade de carga no referencial de repouso sigma'sup = -gamma sigma0 pela seguinte relação da Relatividade:
Onde é o fator de Lorentz. Esse fator leva em conta os efeitos da contração espacial e da dilatação temporal.
Então, as densidades de carga nas placas no referencial serão:

Passo 4

Agora, vamos determinar as correntes que surgem devido ao movimento das placas no referencial J = sigma' v . Como as placas estão carregadas e se movem com velocidade J = gamma sigma0 v x , elas formam correntes elétricas.
A densidade de corrente Jsup = -gamma sigma0 v x está relacionada à densidade de carga e à velocidade :
Substituindo :
Para a placa superior, a corrente será:

Passo 5

Agora que temos as densidades de carga e as correntes no referencial oint E cdot dA = Qencvarepsilon0 , vamos usar as leis de Gauss e Ampère para encontrar os campos elétrico E = sigma'varepsilon0 = gamma sigma0varepsilon0 e magnético oint B cdot dl = mu0 Ienc + mu0 varepsilon0 dPhiEdt nesse referencial.
Primeiro, pela Lei de Gauss para o campo elétrico:
B = mu0 J = mu0 gamma sigma0 v
Como as placas são infinitas e paralelas, o campo elétrico entre elas será uniforme e perpendicular às placas. A densidade de carga modificada nos dá:
Agora, pela Lei de Ampère-Maxwell para o campo magnético:
Como as placas são em movimento constante, a derivada temporal do fluxo elétrico é nula, e a corrente encerrada é dada pela densidade de corrente multiplicada pela área. Então:

Passo 6

Finalmente, vamos comparar nossos resultados com as leis de transformação dos campos eletromagnéticos na Relatividade. As transformações para campos elétrico e magnético entre referenciais em movimento relativo na direção E'y = gamma ( Ey - v Bz ) são:
B'z = gamma ( Bz + vc^2 Ey )
E'y = gamma Ey0 = gamma sigma0varepsilon0
No referencial B'z = gamma vc^2 Ey0 = gamma v sigma0varepsilon0 c^2 cdot c^2 mu0 = gamma mu0 v sigma0 , apenas o campo elétrico está presente. Aplicando a transformação:
Isso confirma que nossos cálculos anteriores para e no referencial estão de acordo com as leis de transformação dos campos eletromagnéticos.

Resposta

Assim, no referencial que se move com velocidade em relação a :
  • As densidades de carga são e .
  • As densidades de corrente são e .
  • Os campos elétrico e magnético são e .
Além disso, esses resultados estão de acordo com as leis de transformação dos campos eletromagnéticos na Relatividade Restrita.

Exercícios relacionados