Considere duas placas infinitas, paralelas ao plano
e em repouso para um certo referencial
. A placa inferior (menor valor de
) tem uma densidade de carga
e a superior uma densidade de carga
.
(b) Considere agora um referencial
que se move com velocidade
com relação a
. Usando os efeitos da contração espacial e dilatação temporal, determine as densidades de cargas e correntes para observadores em
. Em seguida, usando novamente as leis de Gauss e Ampère, determine os campos elétricos e magnéticos em
. Compare seu resultado com a lei de transformação dos campos.
(b) Considere agora um referencial
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta duas placas infinitas e paralelas alinhadas no plano
no referencial
. A placa de baixo tem densidade de carga
e a de cima tem densidade
. Agora, temos que considerar um outro referencial
que se move com velocidade
em relação a
. Nosso objetivo é determinar como as densidades de carga e as correntes aparecem nesse novo referencial
, e então, usando as leis de Gauss e Ampère, encontrar os campos elétricos e magnéticos nesse referencial. Por fim, vamos comparar esses resultados com as leis de transformação dos campos eletromagnéticos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a movimentação do referencial
afeta as densidades de carga das placas. Com o referencial em movimento, precisamos considerar os efeitos da contração espacial e da dilatação temporal da teoria da Relatividade Restrita de Einstein.
A contração espacial ocorre na direção do movimento, que nesse caso é ao longo do eixo
. Isso significa que as distâncias medidas nessa direção são menores em
comparadas a
. A dilatação temporal indica que o tempo no referencial em movimento
passa mais devagar do que em
.
Passo 3
Vamos calcular a densidade de carga no novo referencial
. A densidade de carga
está relacionada à densidade de carga no referencial de repouso
pela seguinte relação da Relatividade:
Onde
é o fator de Lorentz. Esse fator leva em conta os efeitos da contração espacial e da dilatação temporal.
Então, as densidades de carga nas placas no referencial
serão:
Passo 4
Agora, vamos determinar as correntes que surgem devido ao movimento das placas no referencial
. Como as placas estão carregadas e se movem com velocidade
, elas formam correntes elétricas.
A densidade de corrente
está relacionada à densidade de carga
e à velocidade
:
Substituindo
:
Para a placa superior, a corrente será:
Passo 5
Agora que temos as densidades de carga e as correntes no referencial
, vamos usar as leis de Gauss e Ampère para encontrar os campos elétrico
e magnético
nesse referencial.
Primeiro, pela Lei de Gauss para o campo elétrico:
Como as placas são infinitas e paralelas, o campo elétrico entre elas será uniforme e perpendicular às placas. A densidade de carga modificada nos dá:
Agora, pela Lei de Ampère-Maxwell para o campo magnético:
Como as placas são em movimento constante, a derivada temporal do fluxo elétrico é nula, e a corrente encerrada é dada pela densidade de corrente multiplicada pela área. Então:
Passo 6
Finalmente, vamos comparar nossos resultados com as leis de transformação dos campos eletromagnéticos na Relatividade. As transformações para campos elétrico e magnético entre referenciais em movimento relativo na direção
são:
No referencial
, apenas o campo elétrico
está presente. Aplicando a transformação:
Isso confirma que nossos cálculos anteriores para
e
no referencial
estão de acordo com as leis de transformação dos campos eletromagnéticos.
Resposta
Assim, no referencial
que se move com velocidade
em relação a
:
- As densidades de carga são
e . - As densidades de corrente são
e . - Os campos elétrico e magnético são
e .
Além disso, esses resultados estão de acordo com as leis de transformação dos campos eletromagnéticos na Relatividade Restrita.
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