Considere duas placas infinitas, paralelas ao plano e em repouso para um certo referencial . A placa inferior (menor valor de ) tem uma densidade de carga e a superior uma densidade de carga .
(b) Considere agora um referencial que se move com velocidade com relação a . Usando os efeitos da contração espacial e dilatação temporal, determine as densidades de cargas e correntes para observadores em . Em seguida, usando novamente as leis de Gauss e Ampère, determine os campos elétricos e magnéticos em . Compare seu resultado com a lei de transformação dos campos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta duas placas infinitas e paralelas alinhadas no plano no referencial . A placa de baixo tem densidade de carga e a de cima tem densidade . Agora, temos que considerar um outro referencial que se move com velocidade em relação a . Nosso objetivo é determinar como as densidades de carga e as correntes aparecem nesse novo referencial , e então, usando as leis de Gauss e Ampère, encontrar os campos elétricos e magnéticos nesse referencial. Por fim, vamos comparar esses resultados com as leis de transformação dos campos eletromagnéticos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a movimentação do referencial afeta as densidades de carga das placas. Com o referencial em movimento, precisamos considerar os efeitos da contração espacial e da dilatação temporal da teoria da Relatividade Restrita de Einstein.
A contração espacial ocorre na direção do movimento, que nesse caso é ao longo do eixo . Isso significa que as distâncias medidas nessa direção são menores em comparadas a . A dilatação temporal indica que o tempo no referencial em movimento passa mais devagar do que em .

Passo 3

Vamos calcular a densidade de carga no novo referencial . A densidade de carga está relacionada à densidade de carga no referencial de repouso pela seguinte relação da Relatividade:
Onde é o fator de Lorentz. Esse fator leva em conta os efeitos da contração espacial e da dilatação temporal.
Então, as densidades de carga nas placas no referencial serão:

Passo 4

Agora, vamos determinar as correntes que surgem devido ao movimento das placas no referencial . Como as placas estão carregadas e se movem com velocidade , elas formam correntes elétricas.
A densidade de corrente está relacionada à densidade de carga e à velocidade :
Substituindo :
Para a placa superior, a corrente será:

Passo 5

Agora que temos as densidades de carga e as correntes no referencial , vamos usar as leis de Gauss e Ampère para encontrar os campos elétrico e magnético nesse referencial.
Primeiro, pela Lei de Gauss para o campo elétrico:
Como as placas são infinitas e paralelas, o campo elétrico entre elas será uniforme e perpendicular às placas. A densidade de carga modificada nos dá:
Agora, pela Lei de Ampère-Maxwell para o campo magnético:
Como as placas são em movimento constante, a derivada temporal do fluxo elétrico é nula, e a corrente encerrada é dada pela densidade de corrente multiplicada pela área. Então:

Passo 6

Finalmente, vamos comparar nossos resultados com as leis de transformação dos campos eletromagnéticos na Relatividade. As transformações para campos elétrico e magnético entre referenciais em movimento relativo na direção são:
No referencial , apenas o campo elétrico está presente. Aplicando a transformação:
Isso confirma que nossos cálculos anteriores para e no referencial estão de acordo com as leis de transformação dos campos eletromagnéticos.

Resposta

Assim, no referencial que se move com velocidade em relação a :
  • As densidades de carga são e .
  • As densidades de corrente são e .
  • Os campos elétrico e magnético são e .
Além disso, esses resultados estão de acordo com as leis de transformação dos campos eletromagnéticos na Relatividade Restrita.

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Questāo
Uma pedra com densidade de é suspensa pela ponta inferior de una corda leve (com massa desprezivel). Quando a pedra esta no ar, a tensâo na corda é de . Em seguida, a pedra presa na corda é totalmente imersa em um líquido com massa especifica . Nesta situaçũo: (a) Calcule o empuxo:
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(a) A lei de transformação das forças.
Um isolante carregado pode ser descarregado passando-o logo acima de uma chama. Explique por quê?