(b) Use a expresspo para a velocidade de escape para obter a gravidade g na superficie do planeta (lembre-se da expressio para 9 . que pode ser combinada com a expressīo para a velocidade de escape).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para usar a expressão da velocidade de escape para encontrar a gravidade na superfície de um planeta. Isso está ligado à Lei da Gravitação Universal e à cinemática. Para resolver isso, vamos precisar da fórmula da velocidade de escape e da relação entre gravidade e massa do planeta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da velocidade de escape. A velocidade de escape ve = raiz2GMR é a velocidade mínima que um objeto precisa para escapar da atração gravitacional de um corpo celeste sem mais propulsão. A fórmula é:
onde:
  • é a constante gravitacional ( ),
  • é a massa do planeta,
  • é o raio do planeta.

Passo 3

Agora, vamos lembrar a expressão para a gravidade na superfície do planeta. A gravidade g = GMR^2 é dada por:
Comparando com a fórmula da velocidade de escape, vemos que podemos relacionar as duas expressões.

Passo 4

Vamos manipular a fórmula da velocidade de escape para isolar ve^2 = 2GMR . Primeiro, elevamos ambos os lados da equação de ao quadrado:

Passo 5

Agora, vamos relacionar isso com a equação da gravidade. Sabemos que:
g = GMR^2
Podemos multiplicar ambos os lados por gR = GMR :

Passo 6

Observamos que gR = ve^22 aparece tanto na expressão de quanto na de . Então, podemos substituir por :

Passo 7

Agora, isolamos g = ve^22R dividindo ambos os lados por :

Resposta

A gravidade na superfície do planeta é dada por:
g = ve^22R

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