Considere duas placas infinitas, paralelas ao plano e em repouso para um certo referencial . A placa inferior (menor valor de ) tem uma densidade de carga e a superior uma densidade de carga .
(a) Usando as leis de Gauss e Ampère, determine os campos elétricos e magnéticos entre as placas para observadores em .
(b) Considere agora um referencial que se move com velocidade com relação a . Usando os efeitos da contração espacial e dilatação temporal, determine as densidades de cargas e correntes para observadores em . Em seguida, usando novamente as leis de Gauss e Ampère, determine os campos elétricos e magnéticos em . Compare seu resultado com a lei de transformação dos campos.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está rolando aqui. Temos duas placas infinitas, paralelas ao plano , paradas num referencial chamado . A placa de baixo tem uma densidade de carga e a de cima tem . A gente precisa descobrir os campos elétrico ( ) e magnético ( ) entre essas placas usando as leis de Gauss e Ampère para um observador em . Para isso, vamos precisar entender como aplicar essas leis em situações de simetria como essa.

Passo 2

Vamos começar pelo campo elétrico. Como as placas são infinitas e carregadas de forma uniforme, o campo elétrico entre elas vai ser uniforme e perpendicular às placas. Para achar esse campo, usamos a Lei de Gauss, que relaciona o fluxo elétrico com a carga dentro de uma superfície fechada.

Passo 3

Escolhemos uma superfície gaussiana do tipo cilindro, com uma das faces dentro de uma placa e a outra face entre as placas. Devido à simetria, o fluxo elétrico sai apenas pelas faces paralelas às placas. Aplicando a Lei de Gauss:
Como a carga está nas placas, a carga interna , onde é a área da face do cilindro.

Passo 4

O fluxo elétrico (as duas faces contribuem igualmente). Igualando às duas expressões:
Então, o campo elétrico entre as placas é:

Passo 5

Agora, vamos para o campo magnético. As placas estão em repouso em , ou seja, não há movimento de cargas, o que implica ausência de correntes elétricas. Segundo a Lei de Ampère, o campo magnético criado por uma corrente é proporcional à intensidade dessa corrente. Como não há corrente, o campo magnético entre as placas é nulo:

Resposta

Entre as placas no referencial , o campo elétrico é uniforme e dado por e o campo magnético é nulo, ou seja, .

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(b) Obtenha as equações e que descrevem o movimento da pedra (no referencial ).
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