Uma partícula de massa cuja energia total é duas vezes a sua energia de repouso colide com uma partícula idêntica em repouso. Se as partículas continuarem juntas (choque inelástico) qual a massa (de repouso) e a velocidade final do sistema?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas partículas idênticas:
  1. A primeira partícula tem massa de repouso e energia total que é duas vezes a sua energia de repouso. A energia de repouso é dada por , então a energia total dessa partícula é .
  2. A segunda partícula também tem massa de repouso mas está inicialmente em repouso, ou seja, sua energia total é apenas a energia de repouso .
Quando essas partículas colidem e grudam juntas (choque inelástico), queremos encontrar:
  • A nova massa de repouso do sistema combinado.
  • A velocidade final do sistema após a colisão.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de conservação de energia e conservação de momento linear na relatividade.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a velocidade da primeira partícula antes da colisão. Sabemos que sua energia total é .
Na relatividade, a energia total está relacionada com a massa de repouso e a velocidade através da fórmula:
Onde é o fator de Lorentz, dado por:
Sabemos que , então:
Agora, podemos resolver para :
Invertendo ambos os lados:
Então, a velocidade da primeira partícula antes da colisão é .

Passo 3

Agora, vamos aplicar a conservação do momento linear. Antes da colisão, apenas a primeira partícula está em movimento, então o momento total do sistema é o momento dessa partícula.
O momento na relatividade é dado por:
Já sabemos que e , então:
Após a colisão, as duas partículas estão juntas, formando um novo sistema com massa e velocidade . Pelo conservação do momento:
Onde .

Passo 4

Agora, vamos usar a conservação da energia total. A energia total antes da colisão é a soma das energias das duas partículas:
Após a colisão, a energia total será apenas a energia do sistema combinado:
Pelo princípio de conservação de energia:

Passo 5

Agora temos duas equações:
Podemos substituir da segunda equação na primeira:
Simplificando:
Então, a velocidade final do sistema é .

Passo 6

Agora, vamos encontrar a massa de repouso do sistema combinado. Usando a segunda equação:
Sabemos que .

Resposta

A massa de repouso do sistema após a colisão é e a velocidade final do sistema é .

Exercícios relacionados

Uma fenda de largura é iluminada com luz branca. (a) para que valor de o primeiro mínimo para a luz vermelha, com l = 650 nm , aparece em ? (b) Qual é o comprimento de onda l
Um átomo hipotético apresenta três níveis de energia: nível fundamental e níveis de 1,9 eV e de 3,0 eV acima do nível fundamental. (a) Determine as frequências e os comprimentos de onda das linhas espectrais que esse átomo pode emitir ao ser excitado. (b) Quais são os comprimentos de onda que esse átomo pode absorver quando ele está inicialmente em seu nível fundamental? (Figura 5)
Considere que, num referencial inercial , uma pedra de massa é atirada com velocidade na direção e, ao mesmo tempo, cai sob a ação de uma força constante . Ou seja, o sistema está sob a ação de uma força e com uma velocidade inicial dadas por
(a) Determine a velocidade da pedra (no referencial ).
(b) Obtenha as equações e que descrevem o movimento da pedra (no referencial ).
© Para um observador num referencial que se move com velocidade em relação a , com constante, qual a força que age sob a pedra?
Considere duas placas infinitas, paralelas ao plano e em repouso para um certo referencial . A placa inferior (menor valor de ) tem uma densidade de carga e a superior uma densidade de carga .
(a) Usando as leis de Gauss e Ampère, determine os campos elétricos e magnéticos entre as placas para observadores em .
(b) Considere agora um referencial que se move com velocidade com relação a . Usando os efeitos da contração espacial e dilatação temporal, determine as densidades de cargas e correntes para observadores em . Em seguida, usando novamente as leis de Gauss e Ampère, determine os campos elétricos e magnéticos em . Compare seu resultado com a lei de transformação dos campos.