Uma partícula de massa m cuja energia total é duas vezes a sua energia de repouso colide com uma partícula idêntica em repouso. Se as partículas continuarem juntas (choque inelástico) qual a massa (de repouso) e a velocidade final do sistema?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas partículas idênticas:
  1. A primeira partícula tem massa de repouso e energia total que é duas vezes a sua energia de repouso. A energia de repouso é dada por , então a energia total dessa partícula é .
  2. A segunda partícula também tem massa de repouso mas está inicialmente em repouso, ou seja, sua energia total é apenas a energia de repouso .
Quando essas partículas colidem e grudam juntas (choque inelástico), queremos encontrar:
  • A nova massa de repouso do sistema combinado.
  • A velocidade final do sistema após a colisão.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de conservação de energia e conservação de momento linear na relatividade.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a velocidade da primeira partícula antes da colisão. Sabemos que sua energia total é E = gamma m c^2 .
Na relatividade, a energia total está relacionada com a massa de repouso e a velocidade através da fórmula:
gamma = 1raiz1 - v^2c^2
Onde 2 m c^2 = gamma m c^2 implies gamma = 2 é o fator de Lorentz, dado por:
gamma = 2 = 1raiz1 - v^2c^2
Sabemos que raiz1 - v^2c^2 = 12 implies 1 - v^2c^2 = 14 , então:
v^2c^2 = 1 - 14 = 34 implies v = c raiz34 = raiz32 c
Agora, podemos resolver para :
Invertendo ambos os lados:
Então, a velocidade da primeira partícula antes da colisão é .

Passo 3

Agora, vamos aplicar a conservação do momento linear. Antes da colisão, apenas a primeira partícula está em movimento, então o momento total do sistema é o momento dessa partícula.
O momento na relatividade é dado por:
p = gamma m v
Já sabemos que pinicial = 2 m times raiz32 c = m raiz3 c e pinicial = pfinal implies m raiz3 c = gammafinal M V , então:
Após a colisão, as duas partículas estão juntas, formando um novo sistema com massa e velocidade . Pelo conservação do momento:
Onde .

Passo 4

Agora, vamos usar a conservação da energia total. A energia total antes da colisão é a soma das energias das duas partículas:
Einicial = 2 m c^2 + m c^2 = 3 m c^2
Após a colisão, a energia total será apenas a energia do sistema combinado:
Efinal = gammafinal M c^2
Pelo princípio de conservação de energia:
3 m c^2 = gammafinal M c^2 implies gammafinal M = 3 m

Passo 5

Agora temos duas equações:
  1. m raiz3 c = (3 m) V
  2. V = raiz3 c3 = craiz3
Podemos substituir da segunda equação na primeira:
Simplificando:
Então, a velocidade final do sistema é .

Passo 6

Agora, vamos encontrar a massa de repouso gammafinal M = 3 m do sistema combinado. Usando a segunda equação:
raiz32 M = 3 m implies M = 3 m times raiz23 = raiz6 m
Sabemos que .

Resposta

A massa de repouso do sistema após a colisão é e a velocidade final do sistema é .

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