Uma partícula de massa
cuja energia total é duas vezes a sua energia de repouso colide com uma partícula idêntica em repouso. Se as partículas continuarem juntas (choque inelástico) qual a massa (de repouso) e a velocidade final do sistema?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas partículas idênticas:
- A primeira partícula tem massa de repouso
e energia total que é duas vezes a sua energia de repouso. A energia de repouso é dada por , então a energia total dessa partícula é . - A segunda partícula também tem massa de repouso
mas está inicialmente em repouso, ou seja, sua energia total é apenas a energia de repouso .
Quando essas partículas colidem e grudam juntas (choque inelástico), queremos encontrar:
- A nova massa de repouso do sistema combinado.
- A velocidade final do sistema após a colisão.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de conservação de energia e conservação de momento linear na relatividade.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a velocidade da primeira partícula antes da colisão. Sabemos que sua energia total é
.
Na relatividade, a energia total está relacionada com a massa de repouso e a velocidade através da fórmula:
Onde
é o fator de Lorentz, dado por:
Sabemos que
, então:
Agora, podemos resolver para
:
Invertendo ambos os lados:
Então, a velocidade da primeira partícula antes da colisão é
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a conservação do momento linear. Antes da colisão, apenas a primeira partícula está em movimento, então o momento total do sistema é o momento dessa partícula.
O momento na relatividade é dado por:
Já sabemos que
e
, então:
Após a colisão, as duas partículas estão juntas, formando um novo sistema com massa
e velocidade
. Pelo conservação do momento:
Onde
.
Passo 4
Agora, vamos usar a conservação da energia total. A energia total antes da colisão é a soma das energias das duas partículas:
Após a colisão, a energia total será apenas a energia do sistema combinado:
Pelo princípio de conservação de energia:
Passo 5
Agora temos duas equações:
Podemos substituir
da segunda equação na primeira:
Simplificando:
Então, a velocidade final do sistema é
.
Passo 6
Agora, vamos encontrar a massa de repouso
do sistema combinado. Usando a segunda equação:
Sabemos que .
Resposta
A massa de repouso do sistema após a colisão é
e a velocidade final do sistema é
.