Encontre a derivada da função.
(m) f(t) = t g(e^(t)) + e^(tg(t))

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a derivada da função . Vamos usar o conteúdo de cálculo diferencial, especificamente as regras de derivação como a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que a função é composta por duas partes: e . Para derivar essa função, precisamos derivar cada parte separadamente e depois somar os resultados.

Passo 3

Vamos começar derivando a primeira parte: . Aqui, temos o produto de duas funções: e . Para derivar isso, usamos a Regra do Produto, que diz que a derivada de é .

Passo 4

Aplicando a Regra do Produto:
  • então
  • precisamos derivar

Passo 5

Para derivar , usamos a Regra da Cadeia, que nos ajuda a derivar funções compostas. A derivada de é .

Passo 6

Aqui, , então . Portanto:

Passo 7

Voltando à Regra do Produto para a primeira parte:
Simplificando:

Passo 8

Agora, vamos derivar a segunda parte da função: . Novamente, usamos a Regra da Cadeia porque temos uma função exponencial composta com .

Passo 9

Para , a derivada é:
Sabemos que , então:

Resposta

Juntando as duas partes derivadas, a derivada da função é:

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