Determinar as superfícies de nível da função . Dar exemplos de três pontos pertencentes ao gráfico de w .

Passo 1

Beleza! O exercício pede pra gente determinar as superfícies de nível da função . Isso envolve entender como essa função se comporta no espaço 3D e quais formas geométricas representam seus níveis. Vamos precisar lembrar sobre superfícies de nível e como representam funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma superfície de nível. Para uma função de três variáveis como , uma superfície de nível é o conjunto de todos os pontos que fazem com que seja igual a uma constante específica. Ou seja, fixamos um valor para e vemos quais pontos no espaço satisfazem essa condição.

Passo 3

Vamos representar isso matematicamente. Seja uma constante positiva, então a superfície de nível é dada por:
Para simplificar, vamos quadrar ambos os lados da equação:
Essa é a equação de uma esfera com raio e centro na origem .

Passo 4

Portanto, as superfícies de nível da função são esferas centradas na origem, onde o raio de cada esfera é igual ao valor constante que escolhemos para .

Passo 5

Agora, para dar exemplos de três pontos que pertencem ao gráfico de , vamos escolher três valores diferentes de e encontrar pontos que satisfazem a equação .

Passo 6

Vamos supor que . Então a equação fica:
Um ponto que satisfaz essa equação é , porque .

Passo 7

Agora, se , a equação é:
Um ponto válido aqui é , já que .

Passo 8

Por último, se escolhermos , temos:
Um exemplo de ponto é , porque .

Resposta

As superfícies de nível da função são esferas centradas na origem com raio . Três pontos que pertencem ao gráfico de são , e .

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Sabendo que,
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