Determinar as superfícies de nível da função
. Dar exemplos de três pontos pertencentes ao gráfico de w .
Passo 1
Beleza! O exercício pede pra gente determinar as superfícies de nível da função
. Isso envolve entender como essa função se comporta no espaço 3D e quais formas geométricas representam seus níveis. Vamos precisar lembrar sobre superfícies de nível e como representam funções de várias variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma superfície de nível. Para uma função de três variáveis como
, uma superfície de nível é o conjunto de todos os pontos
que fazem com que
seja igual a uma constante específica. Ou seja, fixamos um valor para
e vemos quais pontos no espaço satisfazem essa condição.
Passo 3
Vamos representar isso matematicamente. Seja
uma constante positiva, então a superfície de nível é dada por:
Para simplificar, vamos quadrar ambos os lados da equação:
Essa é a equação de uma esfera com raio
e centro na origem
.
Passo 4
Portanto, as superfícies de nível da função
são esferas centradas na origem, onde o raio de cada esfera é igual ao valor constante
que escolhemos para
.
Passo 5
Agora, para dar exemplos de três pontos que pertencem ao gráfico de
, vamos escolher três valores diferentes de
e encontrar pontos que satisfazem a equação
.
Passo 6
Vamos supor que
. Então a equação fica:
Um ponto que satisfaz essa equação é
, porque
.
Passo 7
Agora, se
, a equação é:
Um ponto válido aqui é
, já que
.
Passo 8
Por último, se escolhermos
, temos:
Um exemplo de ponto é
, porque
.
Resposta
As superfícies de nível da função
são esferas centradas na origem com raio
. Três pontos que pertencem ao gráfico de
são
,
e
.
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. Determine :
c)
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e
é dado por:
Os valores esperados para X e Y é dado por:
Sabendo que,
Encontre
e
.