Considere duas variáveis aleatórias discretas X e Y, ambas com distribuição binomial. Sabe-se que: X: b (2, p) e Y: b (4, p). Se P (X
≥1) = 5/9 então P (Y = 1) é:
≥1) = 5/9 então P (Y = 1) é:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício trata de duas variáveis aleatórias discretas, X e Y, que seguem distribuições binomiais. Especificamente, X tem uma distribuição binomial com 2 tentativas e probabilidade $ p $ de sucesso em cada uma ($ X \sim b(2, p)
Y \sim b(4, p)
P(X \geq 1) $) é igual a $ \frac{5}{9}
P(Y = 1) $).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona a distribuição binomial. A probabilidade de uma variável binomial $ b(n, p) $ assumir o valor $ k $ é dada por:
Onde $ \binom{n}{k} $ é o coeficiente binomial.
Passo 3
Para encontrar $ p $, vamos usar a informação que $ P(X \geq 1) = \frac{5}{9} $. Mas é mais fácil calcular $ P(X \geq 1) $ usando o complemento:
Então:
Logo:
Passo 4
Agora, vamos calcular $ P(X = 0) $ usando a fórmula da binomial:
Portanto:
Passo 5
Resolvendo para $ p $:
Então:
Passo 6
Com $ p = \frac{1}{3} $, vamos calcular $ P(Y = 1) $. Usamos a fórmula da binomial para Y:
Passo 7
Calculando os valores:
Multiplicando:
Resposta
A probabilidade de $ Y = 1 $ é $ \frac{32}{81} $.