Considere duas variáveis aleatórias discretas X e Y, ambas com distribuição binomial. Sabe-se que: X: b (2, p) e Y: b (4, p). Se P (X
≥1) = 5/9 então P (Y = 1) é:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício trata de duas variáveis aleatórias discretas, X e Y, que seguem distribuições binomiais. Especificamente, X tem uma distribuição binomial com 2 tentativas e probabilidade $ p $ de sucesso em cada uma ($ X \sim b(2, p) p Y \sim b(4, p) X sim b(2, p) P(X \geq 1) $) é igual a $ \frac{5}{9} Y sim b(4, p) éé P(Y = 1) $).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a distribuição binomial. A probabilidade de uma variável binomial $ b(n, p) $ assumir o valor $ k $ é dada por:
b(n, p)
Onde $ \binom{n}{k} $ é o coeficiente binomial.

Passo 3

Para encontrar $ p $, vamos usar a informação que $ P(X \geq 1) = \frac{5}{9} $. Mas é mais fácil calcular $ P(X \geq 1) $ usando o complemento:
p
Então:
P(X >= 1) = 59
Logo:
P(X >= 1)

Passo 4

Agora, vamos calcular $ P(X = 0) $ usando a fórmula da binomial:
P(X = 0)
Portanto:
P(X = 0) = binom20 p^0 (1-p)^2 = (1-p)^2

Passo 5

Resolvendo para $ p $:
p
Então:
1 - p = raiz49 = 23

Passo 6

Com $ p = \frac{1}{3} $, vamos calcular $ P(Y = 1) $. Usamos a fórmula da binomial para Y:
p = 13

Passo 7

Calculando os valores:
4 times 13 = 43
(23)^3 = 827
Multiplicando:
43 times 827 = 3281

Resposta

A probabilidade de $ Y = 1 $ é $ \frac{32}{81} $.

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