Considere que a durabilidade (em horas) de uma peça de um equipamento tenha distribuição Normal. Uma amostra 100 peças foram testadas fornecendo uma média de 500 horas e desvio padrão de 18 horas. O fabricante desta peça alega que a durabilidade dela é de no mínimo 510 horas. Indique a conclusão que se pode tirar ao nível de
de significância.
Passo 1
Então, o enunciado diz que a durabilidade das peças segue uma distribuição Normal. Testaram 100 peças e acharam que a média foi de 500 horas com um desvio padrão de 18 horas. O fabricante afirma que a durabilidade mínima é de 510 horas. A gente vai usar testes de hipóteses, uma técnica da estatística, pra ver se essa afirmação do fabricante tá correta, usando um nível de significância de 2%.
Passo 2
Primeiro, vamos montar nossas hipóteses:
- Hipótese nula (H₀): A média de durabilidade das peças é maior ou igual a 510 horas. Ou seja, H₀: μ ≥ 510.
- Hipótese alternativa (H₁): A média de durabilidade das peças é menor que 510 horas. Ou seja, H₁: μ < 510.
Passo 3
O nível de significância escolhido é 2%, ou seja, α = 0,02. Isso significa que estamos dispostos a aceitar uma chance de 2% de rejeitar a hipótese nula quando ela na verdade é verdadeira.
Passo 4
Vamos calcular o erro padrão da média. O erro padrão indica o quanto a média da amostra pode variar em relação à média verdadeira da população. A fórmula é:
Passo 5
Agora, calculamos o valor do teste z, que nos ajuda a ver onde a média da amostra está em relação à média proposta pelo fabricante:
Passo 6
Vamos achar o valor crítico z para um teste unilateral à esquerda com α = 0,02. Usando uma tabela de distribuição Normal, encontramos que z₀,₀.₀₂ ≈ -2,05.
Passo 7
Comparamos o z calculado com o valor crítico:
- Nosso z calculado é -5,56.
- O valor crítico é -2,05.
Como -5,56 é menor que -2,05, isso significa que estamos na região de rejeição da hipótese nula.
Resposta
Com um nível de significância de 2%, rejeitamos a hipótese nula. Portanto, há evidências suficientes para concluir que a durabilidade média das peças é menor que 510 horas, contrariando a afirmação do fabricante.