Considere que a durabilidade (em horas) de uma peça de um equipamento tenha distribuição Normal. Uma amostra 100 peças foram testadas fornecendo uma média de 500 horas e desvio padrão de 18 horas. O fabricante desta peça alega que a durabilidade dela é de no mínimo 510 horas. Indique a conclusão que se pode tirar ao nível de 2 % de significância.

Passo 1

Então, o enunciado diz que a durabilidade das peças segue uma distribuição Normal. Testaram 100 peças e acharam que a média foi de 500 horas com um desvio padrão de 18 horas. O fabricante afirma que a durabilidade mínima é de 510 horas. A gente vai usar testes de hipóteses, uma técnica da estatística, pra ver se essa afirmação do fabricante tá correta, usando um nível de significância de 2%.

Passo 2

Primeiro, vamos montar nossas hipóteses:
  • Hipótese nula (H₀): A média de durabilidade das peças é maior ou igual a 510 horas. Ou seja, H₀: μ ≥ 510.
  • Hipótese alternativa (H₁): A média de durabilidade das peças é menor que 510 horas. Ou seja, H₁: μ < 510.

Passo 3

O nível de significância escolhido é 2%, ou seja, α = 0,02. Isso significa que estamos dispostos a aceitar uma chance de 2% de rejeitar a hipótese nula quando ela na verdade é verdadeira.

Passo 4

Vamos calcular o erro padrão da média. O erro padrão indica o quanto a média da amostra pode variar em relação à média verdadeira da população. A fórmula é:
Erro padrão = sigmaraizn = 18raiz100 = 1810 = 1,8 ã

Passo 5

Agora, calculamos o valor do teste z, que nos ajuda a ver onde a média da amostra está em relação à média proposta pelo fabricante:
z = barx - muErro padrão = 500 - 5101,8 = -101,8 approx -5,56 ã

Passo 6

Vamos achar o valor crítico z para um teste unilateral à esquerda com α = 0,02. Usando uma tabela de distribuição Normal, encontramos que z₀,₀.₀₂ ≈ -2,05.

Passo 7

Comparamos o z calculado com o valor crítico:
  • Nosso z calculado é -5,56.
  • O valor crítico é -2,05.
Como -5,56 é menor que -2,05, isso significa que estamos na região de rejeição da hipótese nula.

Resposta

Com um nível de significância de 2%, rejeitamos a hipótese nula. Portanto, há evidências suficientes para concluir que a durabilidade média das peças é menor que 510 horas, contrariando a afirmação do fabricante.

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