Determine quantos zeros possui o número 100 !.

Passo 1

Beleza, vamos resolver quantos zeros tem no número 100! Primeiro, estamos lidando com fatorial, que é o produto de todos os números inteiros de 1 até esse número. Para encontrar quantos zeros aparecem no final de 100!, precisamos entender como esses zeros são formados. Basicamente, cada zero no final de um número é resultado de fatores de 10, e 10 é igual a 2 multiplicado por 5. Então, vamos precisar contar quantas vezes os fatores 2 e 5 aparecem na decomposição de 100!.

Passo 2

Agora, vamos contar quantos múltiplos de 5 existem de 1 até 100. Isso porque geralmente há mais fatores de 2 do que de 5, então os fatores de 5 vão determinar o número de zeros. Para fazer isso, dividimos 100 por 5:
1005 = 20
Isso significa que há 20 múltiplos de 5 entre 1 e 100.

Passo 3

Mas tem mais! Alguns números têm mais de um fator de 5. Por exemplo, 25 é 5 × 5, então ele contribui com dois fatores de 5. Para contabilizar esses fatores extras, dividimos 100 por 25:
10025 = 4
Então, temos mais 4 fatores de 5 a considerar.

Passo 4

Vamos somar os fatores de 5 que encontramos:
20 (do passo 2) + 4 (do passo 3) = 24
Então, há um total de 24 fatores de 5 em 100!.

Passo 5

Como cada zero no final de 100! é formado por um par de 2 e 5, e temos mais do que suficientes fatores de 2, o número de zeros no final de 100! será igual ao número total de fatores de 5, que é 24.

Resposta

O número 100! possui 24 zeros no final.

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