Considere uma economia com três setores: Agricultura, Indústria e Serviços. Cada setor utiliza insumos dos outros setores para produzir seus bens. A matriz de insumos , que representa a quantidade de insumos do setor necessários para produzir uma unidade do setor , é dada por:
Os preços dos setores (Agricultura), (Indústria) e (Serviços) são determinados pelo custo dos insumos, além de custos adicionais fixos , e que não dependem diretamente dos insumos. Os preços de equilíbrio, que representam os preços onde os gastos de cada setor igualam os inngres, correspondem à solução do seguinte sistema de equações
(a) Supondo que não há custos fixos adicionais, determine os preços de equilibrio para esta economia.
(b) É possível que para alguns valores dos custos fixos, os preços de equilibrio sejam todos iguais a 100? Explique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma economia dividida em três setores: Agricultura, Indústria e Serviços. Cada setor usa insumos dos outros para produzir seus produtos. A gente quer encontrar os preços de equilíbrio desses setores, ou seja, os preços que fazem com que os custos sejam iguais aos insumos utilizados. Para resolver isso, vamos usar sistemas de equações lineares e álgebra linear. No item (a), vamos assumir que não há custos fixos adicionais.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o sistema de equações que representa os preços de equilíbrio sem considerar custos fixos (ou seja, ):

Passo 3

Vamos rearranjar cada equação para trazer todos os termos para o lado esquerdo:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos representar esse sistema na forma de matriz:

[


]
Para que haja uma solução não trivial (diferente de todos os preços serem zero), o determinante da matriz dos coeficientes deve ser zero. Vamos calcular o determinante:
Calculando cada parte:
Somando tudo:
Então, o determinante é zero, o que significa que o sistema tem infinitas soluções. No entanto, como não temos custos fixos, a única solução viável é que todos os preços sejam zero.

Passo 5

Agora, vamos para o item (b). A pergunta é: É possível que, para alguns valores dos custos fixos, os preços de equilíbrio sejam todos iguais a 100?
Para verificar isso, vamos supor que e encontrar os custos fixos que satisfazem as equações de equilíbrio.
Substituindo nas equações originais:
Simplificando cada equação:

Passo 6

No entanto, é importante notar que custos fixos negativos podem não ter interpretação econômica realista, já que isso implicaria que os setores estão pagando para operar, o que geralmente não faz sentido. Portanto, apesar de matematicamente possível, economicamente pode não ser viável.

Resposta

(a) Os preços de equilíbrio para os três setores são:
(b) Sim, é possível que todos os preços de equilíbrio sejam iguais a 100 se os custos fixos forem , e . Contudo, custos fixos negativos podem não ser economicamente realistas.

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Considere as seguintes matrizes
Verifique que as duas matrizes são equivalentes por linhas, determinando uma sequência de operações elementares sobre as linhas que transformem em . (Sugestão: Transforme cada matriz em uma matriz na forma escalonada e depois reverta as operações para obter matriz B.)
Uma fábrica de cosméticos produz dois tipos de cremes: Creme Facial e Creme Corporal. Ambos os cremes são feitos a partir de três ingredientes principais: Aloe Vera (A), Óleo de Coco (B) e Manteiga de Karité ©. A composição de cada tipo de creme em termos dos ingredientes é dada pela seguinte tabela:
Creme Aloe Vera (A) Óleo de Coco (B) Manteiga de Karité ©
Facial
Corporal
(a) Se a fábrica precisa produzir um pedido de de Creme Facial e de Creme Corporal, determine quantos quilos de cada ingrediente serão necessários para produzir este pedido. Descreva as operações realizadas em termos de oprações entre matrizes.
(b) A fábrica percebe que há de cada ingrediente que estão próximos do vencimento e decide fabricar a maior quantidade possível de produtos para evitar o desperdicio. Quantos quilos de cada tipo de crema deveriam fabricar?
Sem realizar nenhuma operação elementar determine em cada um dos seguintes casos se o sistema tem solução única, infinitas soluções ou não tem solução. Explique
(a)
(b)
©
Considere as matrizes e .
(a) Use o método de Gauss-Jordan para calcular e
(b) Verifique que .
© É verdade que ? Explique