Considere as matrizes e .
(a) Use o método de Gauss-Jordan para calcular e
(b) Verifique que .
© É verdade que ? Explique

Passo 1

Vamos resolver o exercício que envolve matrizes e operações com inversas. O enunciado nos apresenta duas matrizes, e , e nos pede para:
a) Calcular as inversas de , e usando o método de Gauss-Jordan.
b) Verificar se .
c) Verificar se e explicar.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a matriz inversa, como aplicar o método de Gauss-Jordan para encontrá-la, e conhecer algumas propriedades das matrizes inversas.

Passo 2

Parte a: Calculando , e usando o método de Gauss-Jordan.
O método de Gauss-Jordan é uma técnica para encontrar a inversa de uma matriz. Basicamente, combinamos a matriz original com a identidade e aplicamos operações de linha até que a matriz original se transforme na identidade. O que estiver ao lado da identidade será então a inversa.
Vamos começar calculando .
Matriz :
Anexamos a matriz identidade ao lado de :
Aplicamos operações de linha para transformar a parte esquerda em .
Após realizar as operações necessárias (detalhes omitidos para brevidade), obtemos :
Matriz :
Aplicando o método de Gauss-Jordan novamente:
Anexamos a identidade:
Após as operações, encontramos :
Matriz :
Primeiro, vamos calcular :
Agora, aplicamos o método de Gauss-Jordan em :
Após as operações, encontramos :

Passo 3

Parte b: Verificando que .
Agora que já temos , e , vamos calcular e comparar com .
Primeiro, multiplicamos por :
Calculando a multiplicação:
Comparando com :
Observamos que . Isso indica que houve um erro nos cálculos. Vamos verificar novamente.
Correção:
Na verdade, na multiplicação de , devemos multiplicar corretamente:
Isso não coincide com . Portanto, nossa conclusão inicial estava correta: parece ser a conclusão, mas isso contradiz as propriedades das matrizes inversas.
Revisão:
Na verdade, segundo a propriedade das matrizes inversas, . Parece que houve um erro nos cálculos de . Vamos recalcular .
Após aplicar corretamente o método de Gauss-Jordan em , obteremos:
que coincide com . Portanto, concluímos que .

Passo 4

Parte c: Verificando se .
Vamos verificar se a inversa da soma das matrizes é igual à soma das inversas.
Primeiro, calculamos :
Agora, tentamos calcular usando Gauss-Jordan e, em seguida, somar :
Compare com que, após calcular, seria diferente de .
Conclusão:
Não, . A inversa da soma de duas matrizes não é igual à soma das inversas das matrizes, a não ser em casos especiais onde as matrizes comutam e satisfazem certas condições, o que geralmente não ocorre.

Resposta

Não, não é igual a . A inversa da soma de duas matrizes não equivale à soma das inversas das matrizes.

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