Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente tem três sistemas de equações representados por matrizes aumentadas, e a missão é descobrir se cada sistema tem uma única solução, infinitas soluções ou nenhuma solução. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre determinantes e o conceito de consistência dos sistemas.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o sistema (a):
0 & 0 & 1 & 2 0 & 1 & 3 & 1 1 & 0 & 1 & 1
Esse é um sistema de três equações com três variáveis. Para saber se tem solução única, vamos calcular o determinante da matriz dos coeficientes (a parte sem a coluna dos resultados):
0 & 0 & 1 0 & 1 & 3 1 & 0 & 1
Calculando o determinante:
0 times (1 times 1 - 3 times 0) - 0 times (0 times 1 - 3 times 1) + 1 times (0 times 0 - 1 times 1) = 0 - 0 -1 = -1
Como o determinante é diferente de zero (), o sistema tem solução única.
Passo 3
Agora, vamos para o sistema (b):
1 & 2 & 3 & 6 3 & 2 & 1 & -2 4 & 4 & 4 & 4
Novamente, temos três equações com três vari��veis. Calculamos o determinante da matriz dos coeficientes:
1 & 2 & 3 3 & 2 & 1 4 & 4 & 4
Calculando o determinante:
1 times (2 times 4 - 1 times 4) - 2 times (3 times 4 - 1 times 4) + 3 times (3 times 4 - 2 times 4) = 1 times (8 - 4) - 2 times (12 - 4) + 3 times (12 - 8) = 4 - 16 + 12 = 0
Como o determinante é zero, precisamos verificar a consistência. Observando as equações, percebemos que a terceira equação pode ser obtida como combinação linear das duas primeiras, o que indica que o sistema tem infinitas soluções.
Mais uma vez, três equações com três variáveis. Calculamos o determinante da matriz dos coeficientes:
3 & 2 & 1 1 & 2 & -1 2 & 4 & -2
Calculando o determinante:
3 times (2 times (-2) - (-1) times 4) - 2 times (1 times (-2) - (-1) times 2) + 1 times (1 times 4 - 2 times 2) = 3 times (-4 + 4) - 2 times (-2 + 2) + 1 times (4 - 4) = 0 - 0 + 0 = 0
Com o determinante igual a zero, vamos verificar a consistência. Observando as equações, vemos que a terceira equação é múltiplo da segunda ( segunda equação dá a terceira), mas os termos constantes também são múltiplos, o que significa que as equações são dependentes e o sistema tem infinitas soluções.