Sem realizar nenhuma operação elementar determine em cada um dos seguintes casos se o sistema tem solução única, infinitas soluções ou não tem solução. Explique
(a)
(b)
©

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente tem três sistemas de equações representados por matrizes aumentadas, e a missão é descobrir se cada sistema tem uma única solução, infinitas soluções ou nenhuma solução. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre determinantes e o conceito de consistência dos sistemas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o sistema (a):
Esse é um sistema de três equações com três variáveis. Para saber se tem solução única, vamos calcular o determinante da matriz dos coeficientes (a parte sem a coluna dos resultados):
Calculando o determinante:
Como o determinante é diferente de zero ( ), o sistema tem solução única.

Passo 3

Agora, vamos para o sistema (b):
Novamente, temos três equações com três vari��veis. Calculamos o determinante da matriz dos coeficientes:
Calculando o determinante:
Como o determinante é zero, precisamos verificar a consistência. Observando as equações, percebemos que a terceira equação pode ser obtida como combinação linear das duas primeiras, o que indica que o sistema tem infinitas soluções.

Passo 4

Por fim, vamos analisar o sistema ©:
Mais uma vez, três equações com três variáveis. Calculamos o determinante da matriz dos coeficientes:
Calculando o determinante:
Com o determinante igual a zero, vamos verificar a consistência. Observando as equações, vemos que a terceira equação é múltiplo da segunda ( segunda equação dá a terceira), mas os termos constantes também são múltiplos, o que significa que as equações são dependentes e o sistema tem infinitas soluções.

Resposta

(a) O sistema tem solução única.
(b) O sistema tem infinitas soluções.
© O sistema tem infinitas soluções.

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Considere uma economia com três setores: Agricultura, Indústria e Serviços. Cada setor utiliza insumos dos outros setores para produzir seus bens. A matriz de insumos , que representa a quantidade de insumos do setor necessários para produzir uma unidade do setor , é dada por:
Os preços dos setores (Agricultura), (Indústria) e (Serviços) são determinados pelo custo dos insumos, além de custos adicionais fixos , e que não dependem diretamente dos insumos. Os preços de equilíbrio, que representam os preços onde os gastos de cada setor igualam os inngres, correspondem à solução do seguinte sistema de equações
(a) Supondo que não há custos fixos adicionais, determine os preços de equilibrio para esta economia.
(b) É possível que para alguns valores dos custos fixos, os preços de equilibrio sejam todos iguais a 100? Explique.
Considere as seguintes matrizes
Verifique que as duas matrizes são equivalentes por linhas, determinando uma sequência de operações elementares sobre as linhas que transformem em . (Sugestão: Transforme cada matriz em uma matriz na forma escalonada e depois reverta as operações para obter matriz B.)
Considere as matrizes e .
(a) Use o método de Gauss-Jordan para calcular e
(b) Verifique que .
© É verdade que ? Explique
Em cada caso, determine se o conjunto de vetores é linearmente independente. Em caso negativo, encontre explicitamente uma relação linear entre os vetores.
(a)
(b)
©
(d)