Resolva o seguinte P.V.I:
x^2 y' + x y = x cos(x), x > 0 e y(pi/2) = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial (P.V.I) que envolve uma equação diferencial. O enunciado é:
x^2 y' + x y = x cos(x), x > 0 e y(pi/2) = 0
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar reorganizar a equação e usar o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação linear, que é:
Para isso, dividimos todos os termos por :
Agora, temos e .

Passo 3

O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é uma função que facilita a resolução da equação. O fator integrante é dado por:
Substituindo :

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Simplificando:

Passo 5

Agora, a equação pode ser escrita como a derivada do produto :
Para encontrar , integramos ambos os lados em relação a :
Assim:

Passo 6

Resolvemos para :
Agora, usamos a condição inicial para encontrar a constante :

Resposta

A solução do P.V.I é:

Exercícios relacionados

Resolva o problema de valor inicial (PVI) abaixo:
d/y = 6 x (y - 1)^(2 / 3), y(1) = -1
Calcule a inversa da transformada de Laplace de F(s) usando a propriedade da integral da transformada:
F(s) = s / (s^2 + 1)^2
Considere a EDO homogênea:
(x^2 + y^2) + (x^2 - x*y) * dy/dx = 0 (x^2 - y^2) + (x^2 - x*y) * dy/dx = 0
Faça a substituição z = y / x e escreva a EDO correspondente nas variáveis x e z.
Considere a EDO de Bernoulli:
x dy/dx - y = y^3
Faça a substituição y = z^(-1/2) e escreva a EDO correspondente nas variáveis x e z.