Considere a EDO homogênea:
(x^2 + y^2) + (x^2 - x*y) * dy/dx = 0 (x^2 - y^2) + (x^2 - x*y) * dy/dx = 0
Faça a substituição z = y / x e escreva a EDO correspondente nas variáveis x e z.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) homogênea que envolve e . O desafio é fazer uma substituição usando para reescrever a EDO em termos de e . Para isso, vamos precisar entender como substituir por e também como substituir na nova variável. Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos expressar em termos de e . Sabemos que , então podemos escrever:
Agora, precisamos encontrar em termos de e . Usando a regra do produto para derivadas:

Passo 3

Agora, vamos substituir e na EDO original. Vamos considerar a primeira equação:
Substituindo e :
Simplificando os termos:

Passo 4

Vamos expandir a expressão:
Simplificando cada parte:
Observamos que cancela:
Simplificando mais:

Passo 5

Agora, vamos dividir toda a equação por para simplificar:
Isolando :
Dividindo ambos os lados por :

Resposta

A EDO reescrita nas variáveis e é:

Exercícios relacionados

Resolva o seguinte P.V.I:
x^2 y' + x y = x cos(x), x > 0 e y(pi/2) = 0
Resolva o problema de valor inicial (PVI) abaixo:
d/y = 6 x (y - 1)^(2 / 3), y(1) = -1
Considere a EDO de Bernoulli:
x dy/dx - y = y^3
Faça a substituição y = z^(-1/2) e escreva a EDO correspondente nas variáveis x e z.
Expresse f(t) utilizando funções escada u(t-a) = ua(t) :
f(t) = { t-1, 0 <= t < 1; t^2, 1 <= t < 2; 1, t >= 2 }