Considere a EDO homogênea:
Faça a substituição
e escreva a EDO correspondente nas variáveis
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) homogênea que envolve
e
. O desafio é fazer uma substituição usando
para reescrever a EDO em termos de
e
. Para isso, vamos precisar entender como substituir
por
e também como substituir
na nova variável. Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos expressar
em termos de
e
. Sabemos que
, então podemos escrever:
Agora, precisamos encontrar
em termos de
e
. Usando a regra do produto para derivadas:
Passo 3
Agora, vamos substituir
e
na EDO original. Vamos considerar a primeira equação:
Substituindo
e
:
Simplificando os termos:
Passo 4
Vamos expandir a expressão:
Simplificando cada parte:
Observamos que
cancela:
Simplificando mais:
Passo 5
Agora, vamos dividir toda a equação por
para simplificar:
Isolando
:
Dividindo ambos os lados por
:
Resposta
A EDO reescrita nas variáveis
e
é:
Exercícios relacionados
Resolva o seguinte P.V.I:
Resolva o problema de valor inicial (PVI) abaixo:
Considere a EDO de Bernoulli:
Faça a substituição
e escreva a EDO correspondente nas variáveis
e
.
Expresse
utilizando funções escada
: