Resolva o problema de valor inicial (PVI) abaixo:
d/y = 6 x (y - 1)^(2 / 3), y(1) = -1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! O enunciado é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial ordinária (EDO) que envolve derivadas. Nosso objetivo é encontrar a função que satisfaz essa equação e passa pelo ponto .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o tipo de equação que temos. A equação dada é separável, o que significa que podemos separar os termos que envolvem dos que envolvem . Isso facilita a resolução porque podemos integrar ambos os lados separadamente.

Passo 3

Vamos reescrever a equação de forma que todos os termos com fiquem de um lado e os com do outro:
Aqui, dividimos ambos os lados por para isolar de um lado.

Passo 4

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A integral do lado esquerdo será em relação a , e a do lado direito em relação a :

Passo 5

Vamos resolver as integrais separadamente. Começando pelo lado esquerdo:
Fazendo a substituição , então , temos:

Passo 6

Agora, a integral do lado direito:

Passo 7

Igualando as duas integrais e combinando as constantes de integração, temos:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por 3:
Vamos renomear simplesmente como para simplificar:

Passo 8

Agora, usamos a condição inicial para encontrar o valor de . Substituindo e na equação:
Simplificando:
Sabemos que , então:

Passo 9

Agora, substituímos de volta na equação geral:
Para isolar , elevamos ambos os lados ao cubo:
Finalmente, somamos 1 aos dois lados:

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:

Exercícios relacionados

Calcule a inversa da transformada de Laplace de F(s) usando a propriedade da integral da transformada:
F(s) = s / (s^2 + 1)^2
Resolva o seguinte problema de valor inicial:
y'' + 2y (y')^3 = 0, y(0) = 3 e y'(0) = 1/3
Resolva o seguinte P.V.I:
x^2 y' + x y = x cos(x), x > 0 e y(pi/2) = 0
Considere a EDO homogênea:
(x^2 + y^2) + (x^2 - x*y) * dy/dx = 0 (x^2 - y^2) + (x^2 - x*y) * dy/dx = 0
Faça a substituição z = y / x e escreva a EDO correspondente nas variáveis x e z.