Resolva o problema de valor inicial (PVI) abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! O enunciado é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial ordinária (EDO) que envolve derivadas. Nosso objetivo é encontrar a função
que satisfaz essa equação e passa pelo ponto
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o tipo de equação que temos. A equação dada é separável, o que significa que podemos separar os termos que envolvem
dos que envolvem
. Isso facilita a resolução porque podemos integrar ambos os lados separadamente.
Passo 3
Vamos reescrever a equação de forma que todos os termos com
fiquem de um lado e os com
do outro:
Aqui, dividimos ambos os lados por
para isolar
de um lado.
Passo 4
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A integral do lado esquerdo será em relação a
, e a do lado direito em relação a
:
Passo 5
Vamos resolver as integrais separadamente. Começando pelo lado esquerdo:
Fazendo a substituição
, então
, temos:
Passo 6
Agora, a integral do lado direito:
Passo 7
Igualando as duas integrais e combinando as constantes de integração, temos:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por 3:
Vamos renomear
simplesmente como
para simplificar:
Passo 8
Agora, usamos a condição inicial
para encontrar o valor de
. Substituindo
e
na equação:
Simplificando:
Sabemos que
, então:
Passo 9
Agora, substituímos
de volta na equação geral:
Para isolar
, elevamos ambos os lados ao cubo:
Finalmente, somamos 1 aos dois lados:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é:
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Calcule a inversa da transformada de Laplace de
usando a propriedade da integral da transformada:
Resolva o seguinte problema de valor inicial:
Resolva o seguinte P.V.I:
Considere a EDO homogênea:
Faça a substituição
e escreva a EDO correspondente nas variáveis
e
.