Considere o elétron do átomo de Hidrogênio. Usando
, mostre que o radio do orbital eletrônico para o estado fundamental é igual ao radio de Bohr.
Passo 1
Beleza, vamos olhar esse exercício sobre o elétron no átomo de Hidrogênio. A gente precisa usar o princípio da incerteza, que é
, para mostrar que o raio do orbital eletrônico no estado fundamental é igual ao raio de Bohr. Basicamente, vamos usar conceitos de física quântica e mecânica clássica para chegar nessa conclusão.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o princípio da incerteza de Heisenberg. Ele nos diz que não dá para saber simultaneamente com precisão absoluta a posição (
) e o momento (
) de uma partícula. A relação é:
Onde
é a constante de Planck reduzida.
Passo 3
Agora, vamos pensar no elétron no átomo de Hidrogênio. No estado fundamental, o elétron está na menor energia possível, orbitando próximo ao núcleo. O raio dessa órbita é o que chamamos de raio de Bohr. Queremos mostrar que usando o princípio da incerteza, a gente chega nesse mesmo valor.
Passo 4
Vamos assumir que a incerteza na posição do elétron (
) é aproximadamente igual ao raio da órbita, ou seja,
. E a incerteza no momento (
) fica então:
Passo 5
Sabemos que o momento
é o produto da massa (
) pela velocidade (
) do elétron:
Então, a incerteza no momento fica:
Dessa forma, temos:
Passo 6
Agora, vamos pensar na força centrípeta que mantém o elétron em órbita. Essa força é fornecida pela força elétrica de atração entre o elétron e o próton no núcleo:
Onde
é a carga do elétron e
é a permissividade do vácuo.
Passo 7
Substituímos a expressão de
que encontramos:
Simplificando:
Passo 8
Agora, isolamos
:
Passo 9
Essa expressão que encontramos para
é exatamente o raio de Bohr:
Portanto, mostramos que usando o princípio da incerteza, o raio do orbital eletrônico no estado fundamental é igual ao raio de Bohr.
Resposta
O raio do orbital eletrônico no estado fundamental é igual ao raio de Bohr, dado por:
Exercícios relacionados
Um átomo pode existir em dois estados: um estado fundamental de massa
e um estado excitado de massa
. Se a transição do estado fundamental para o estado excitado se dá pela absorção de um fóton, qual deve ser a frequência do fóton no referencial do laboratório em que o átomo está incialmente em repouso? Use unidades em que
.
Uma partícula de massa de repouso
e energia total
viaja com velocidade constante
. Ela colide então com uma partícula idêntica em repouso e elas espalham formando um ângulo
entre si.
Mostre que
Mostre que
Um antipróton e um Deutéron em repouso dão origem a seguinte reação
na qual
é um nêutron e
é um méson
neutro. Determine a energia total do
.
Um veículo de quatro rodas e massa total de 1200kg está viajando a
. Considere que cada roda tem massa de 25 kg . Determine:
a) A energia cinética do carro
b) A energia cinética de cada roda do carro.
a) A energia cinética do carro
b) A energia cinética de cada roda do carro.