Considere o elétron do átomo de Hidrogênio. Usando , mostre que o radio do orbital eletrônico para o estado fundamental é igual ao radio de Bohr.

Passo 1

Beleza, vamos olhar esse exercício sobre o elétron no átomo de Hidrogênio. A gente precisa usar o princípio da incerteza, que é , para mostrar que o raio do orbital eletrônico no estado fundamental é igual ao raio de Bohr. Basicamente, vamos usar conceitos de física quântica e mecânica clássica para chegar nessa conclusão.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o princípio da incerteza de Heisenberg. Ele nos diz que não dá para saber simultaneamente com precisão absoluta a posição ( ) e o momento ( ) de uma partícula. A relação é:
Onde é a constante de Planck reduzida.

Passo 3

Agora, vamos pensar no elétron no átomo de Hidrogênio. No estado fundamental, o elétron está na menor energia possível, orbitando próximo ao núcleo. O raio dessa órbita é o que chamamos de raio de Bohr. Queremos mostrar que usando o princípio da incerteza, a gente chega nesse mesmo valor.

Passo 4

Vamos assumir que a incerteza na posição do elétron ( ) é aproximadamente igual ao raio da órbita, ou seja, . E a incerteza no momento ( ) fica então:

Passo 5

Sabemos que o momento é o produto da massa ( ) pela velocidade ( ) do elétron:
Então, a incerteza no momento fica:
Dessa forma, temos:

Passo 6

Agora, vamos pensar na força centrípeta que mantém o elétron em órbita. Essa força é fornecida pela força elétrica de atração entre o elétron e o próton no núcleo:
Onde é a carga do elétron e é a permissividade do vácuo.

Passo 7

Substituímos a expressão de que encontramos:
Simplificando:

Passo 8

Agora, isolamos :

Passo 9

Essa expressão que encontramos para é exatamente o raio de Bohr:
Portanto, mostramos que usando o princípio da incerteza, o raio do orbital eletrônico no estado fundamental é igual ao raio de Bohr.

Resposta

O raio do orbital eletrônico no estado fundamental é igual ao raio de Bohr, dado por:

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