Considere o elétron do átomo de Hidrogênio. Usando De, mostre que o radio do orbital eletrônico para o estado fundamental é igual ao radio de Bohr.

Passo 1

Beleza, vamos olhar esse exercício sobre o elétron no átomo de Hidrogênio. A gente precisa usar o princípio da incerteza, que é De, para mostrar que o raio do orbital eletrônico no estado fundamental é igual ao raio de Bohr. Basicamente, vamos usar conceitos de física quântica e mecânica clássica para chegar nessa conclusão.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o princípio da incerteza de Heisenberg. Ele nos diz que não dá para saber simultaneamente com precisão absoluta a posição ( De) e o momento ( De) de uma partícula. A relação é:
De
Onde hbar é a constante de Planck reduzida.

Passo 3

Agora, vamos pensar no elétron no átomo de Hidrogênio. No estado fundamental, o elétron está na menor energia possível, orbitando próximo ao núcleo. O raio dessa órbita é o que chamamos de raio de Bohr. Queremos mostrar que usando o princípio da incerteza, a gente chega nesse mesmo valor.

Passo 4

Vamos assumir que a incerteza na posição do elétron ( De) é aproximadamente igual ao raio da órbita, ou seja, De. E a incerteza no momento ( De) fica então:
De

Passo 5

Sabemos que o momento p é o produto da massa ( m) pela velocidade ( v) do elétron:
p = m v
Então, a incerteza no momento fica:
De
Dessa forma, temos:
v approx hbarm r

Passo 6

Agora, vamos pensar na força centrípeta que mantém o elétron em órbita. Essa força é fornecida pela força elétrica de atração entre o elétron e o próton no núcleo:
m v^2r = e^24 pi varepsilon0 r^2
Onde e é a carga do elétron e varepsilon0 é a permissividade do vácuo.

Passo 7

Substituímos a expressão de v que encontramos:
m (hbarm r)^2r = e^24 pi varepsilon0 r^2
Simplificando:
m hbar^2m^2 r^3 = e^24 pi varepsilon0 r^2
hbar^2m r^3 = e^24 pi varepsilon0 r^2

Passo 8

Agora, isolamos r:
hbar^2m = e^24 pi varepsilon0 r
r = 4 pi varepsilon0 hbar^2m e^2

Passo 9

Essa expressão que encontramos para r é exatamente o raio de Bohr:
rB = 4 pi varepsilon0 hbar^2m e^2
Portanto, mostramos que usando o princípio da incerteza, o raio do orbital eletrônico no estado fundamental é igual ao raio de Bohr.

Resposta

O raio do orbital eletrônico no estado fundamental é igual ao raio de Bohr, dado por:
rB = 4 pi varepsilon0 hbar^2m e^2

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