Uma partícula de massa de repouso e energia total viaja com velocidade constante . Ela colide então com uma partícula idêntica em repouso e elas espalham formando um ângulo entre si.
Mostre que

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o enunciado tá dizendo. Temos duas partículas idênticas, cada uma com massa de repouso . Uma delas está se movendo com velocidade constante e energia total , enquanto a outra está parada. Quando elas colidem, se espalham formando um ângulo entre elas. Nosso objetivo aqui é mostrar a relação:
Para resolver isso, vamos usar os conceitos de conservação de momento e energia na física relativística.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que na física relativística, a energia total de uma partícula é dada por:
onde é o fator de Lorentz:
Como a partícula está se movendo com velocidade , sua energia total é . Quando ela colide com a partícula em repouso, precisamos garantir que tanto a energia quanto o momento total sejam conservados.

Passo 3

Vamos analisar a conservação do momento. Antes da colisão, somente a partícula em movimento possui momento, que é dado por:
Após a colisão, temos duas partículas se movendo com velocidades que formam um ângulo . Vamos chamar as velocidades pós-colisão de e , respectivamente. Pelo princípio da conservação do momento, o momento total antes da colisão deve ser igual ao momento total após a colisão.

Passo 4

Agora, vamos considerar a conservação da energia. A energia total antes da colisão é (energia da partícula em movimento mais a energia de repouso da segunda partícula). Após a colisão, temos duas partículas, cada uma com energia:
Então, pela conservação de energia:

Passo 5

Usando trigonometria no sistema pós-colisão, podemos relacionar os momentos das partículas. Como elas formam um ângulo , o momento resultante pode ser decomposto utilizando o ângulo . Isso nos leva à relação envolvendo o cosseno desse ângulo.

Passo 6

Após manipular as equações de conservação de momento e energia, e simplificar os termos, chegamos na expressão desejada:

Resposta

Assim, mostramos que:

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