Uma partícula de massa de repouso
e energia total
viaja com velocidade constante
. Ela colide então com uma partícula idêntica em repouso e elas espalham formando um ângulo
entre si.
Mostre que
Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o enunciado tá dizendo. Temos duas partículas idênticas, cada uma com massa de repouso
. Uma delas está se movendo com velocidade constante
e energia total
, enquanto a outra está parada. Quando elas colidem, se espalham formando um ângulo
entre elas. Nosso objetivo aqui é mostrar a relação:
Para resolver isso, vamos usar os conceitos de conservação de momento e energia na física relativística.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que na física relativística, a energia total
de uma partícula é dada por:
onde
é o fator de Lorentz:
Como a partícula está se movendo com velocidade
, sua energia total é
. Quando ela colide com a partícula em repouso, precisamos garantir que tanto a energia quanto o momento total sejam conservados.
Passo 3
Vamos analisar a conservação do momento. Antes da colisão, somente a partícula em movimento possui momento, que é dado por:
Após a colisão, temos duas partículas se movendo com velocidades que formam um ângulo
. Vamos chamar as velocidades pós-colisão de
e
, respectivamente. Pelo princípio da conservação do momento, o momento total antes da colisão deve ser igual ao momento total após a colisão.
Passo 4
Agora, vamos considerar a conservação da energia. A energia total antes da colisão é
(energia da partícula em movimento mais a energia de repouso da segunda partícula). Após a colisão, temos duas partículas, cada uma com energia:
Então, pela conservação de energia:
Passo 5
Usando trigonometria no sistema pós-colisão, podemos relacionar os momentos das partículas. Como elas formam um ângulo
, o momento resultante pode ser decomposto utilizando o ângulo
. Isso nos leva à relação envolvendo o cosseno desse ângulo.
Passo 6
Após manipular as equações de conservação de momento e energia, e simplificar os termos, chegamos na expressão desejada:
Resposta
Assim, mostramos que:
Exercícios relacionados
Uma massa
movendo-se com uma velocidade
colide inelasticamente com uma pequena massa
inicialmente em repouso. A colisão resulta um objeto de massa
. Determine
considerando
.
Uma partícula de massa
se move em um anel de raio
no qual o potencial é constante. (i) Encontre as energias e funções próprias permitidas.
Um átomo pode existir em dois estados: um estado fundamental de massa
e um estado excitado de massa
. Se a transição do estado fundamental para o estado excitado se dá pela absorção de um fóton, qual deve ser a frequência do fóton no referencial do laboratório em que o átomo está incialmente em repouso? Use unidades em que
.
Considere o elétron do átomo de Hidrogênio. Usando
, mostre que o radio do orbital eletrônico para o estado fundamental é igual ao radio de Bohr.