Considere um elétron numa caixa bidimensional com paredes de potencial infinitas e com dimensões de 1 nm por 2 nm . Considere que a dimensão mais longa é a dimensão alinhada com o eixo y. (a) Determine os números quânticos nx e ny dos cinco níveis de energia mais baixos do sistema.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um elétron preso numa caixa bidimensional com paredes de potencial infinitas, ou seja, o elétron não pode sair dessa caixa. As dimensões da caixa são 1 nanômetro (nm) na direção x e 2 nm na direção y. Nosso objetivo aqui é encontrar os números quânticos e para os cinco níveis de energia mais baixos desse sistema. Vamos usar conceitos de mecânica quântica, especificamente o modelo da partícula na caixa, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que em uma caixa bidimensional com paredes de potencial infinito, os níveis de energia do elétron são quantizados e determinados por dois números quânticos, Enx,ny = h^28m ( nx^2Lx^2 + ny^2Ly^2 ) e , que são inteiros positivos (1, 2, 3, …). A energia total do elétron nesse sistema é dada pela soma das energias nas direções x e y.
A fórmula para a energia é:
Onde:
  • é a constante de Planck,
  • é a massa do elétron,
  • e são as dimensões da caixa nas direções x e y, respectivamente,
  • e são os números quânticos nas direções x e y.

Passo 3

Como estamos interessados apenas na ordem dos níveis de energia, podemos ignorar os fatores constantes Enx,ny propto nx^2Lx^2 + ny^2Ly^2 e comparar somente os termos dentro dos parênteses. Assim, podemos simplificar a expressão para fins de ordenação:
Enx,ny propto nx^21^2 + ny^22^2 = nx^2 + ny^24
Substituindo as dimensões dadas:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar os pares que minimizam a energia. Vamos listar os possíveis pares começando com os menores valores de e :
  1. :
  2. :
  3. :
  4. :
  5. :
  6. :

Passo 5

Agora, vamos ordenar esses pares de acordo com a energia calculada:
  1. : 1.25
  2. : 2
  3. : 3.25
  4. : 4.25
  5. : 5
  6. : 9.25

Resposta

Os números quânticos e dos cinco níveis de energia mais baixos são:

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