Considere um elétron numa caixa bidimensional com paredes de potencial infinitas e com dimensões de 1 nm por 2 nm . Considere que a dimensão mais longa é a dimensão alinhada com o eixo y. (a) Determine os números quânticos
e
dos cinco níveis de energia mais baixos do sistema.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um elétron preso numa caixa bidimensional com paredes de potencial infinitas, ou seja, o elétron não pode sair dessa caixa. As dimensões da caixa são 1 nanômetro (nm) na direção x e 2 nm na direção y. Nosso objetivo aqui é encontrar os números quânticos
e
para os cinco níveis de energia mais baixos desse sistema. Vamos usar conceitos de mecânica quântica, especificamente o modelo da partícula na caixa, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que em uma caixa bidimensional com paredes de potencial infinito, os níveis de energia do elétron são quantizados e determinados por dois números quânticos,
e
, que são inteiros positivos (1, 2, 3, …). A energia total do elétron nesse sistema é dada pela soma das energias nas direções x e y.
A fórmula para a energia
é:
Onde:
-
é a constante de Planck, -
é a massa do elétron, -
e são as dimensões da caixa nas direções x e y, respectivamente, -
e são os números quânticos nas direções x e y.
Passo 3
Como estamos interessados apenas na ordem dos níveis de energia, podemos ignorar os fatores constantes
e comparar somente os termos dentro dos parênteses. Assim, podemos simplificar a expressão para fins de ordenação:
Substituindo as dimensões dadas:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar os pares
que minimizam a energia. Vamos listar os possíveis pares começando com os menores valores de
e
:
-
: -
: -
: -
: -
: -
:
Passo 5
Agora, vamos ordenar esses pares de acordo com a energia calculada:
-
: 1.25 -
: 2 -
: 3.25 -
: 4.25 -
: 5 -
: 9.25
Resposta
Os números quânticos
e
dos cinco níveis de energia mais baixos são:
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