Dentro do formalismo do Modelo de Bohr para o átomo de hidrogênio, calcule a velocidade na qual o elétron precisa orbitar o núcleo do átomo para o átomo no estado fundamental, para o qual
. Como é que esta velocidade se compara com a velocidade da luz?
Passo 1
Então, vamos lá! O exercício pede para usarmos o Modelo de Bohr para calcular a velocidade com que o elétron precisa orbitar o núcleo do átomo de hidrogênio no estado fundamental, onde o momento angular
. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre o Modelo de Bohr, especialmente como ele relaciona o momento angular, a força centrípeta e a força eletrostática que mantém o elétron na órbita.
Passo 2
Primeiro, sabemos que no Modelo de Bohr, o momento angular
do elétron é quantizado e dado por:
Aqui,
é a massa do elétron,
é a velocidade orbital e
é o raio da órbita.
Passo 3
Também, a força centrípeta necessária para manter o elétron em órbita é fornecida pela força eletrostática entre o elétron e o próton no núcleo. A força centrípeta é:
E a força eletrostática é dada por:
Onde
é a carga do elétron e
é a constante de permissividade do vácuo.
Passo 4
No equilíbrio, essas duas forças são iguais:
Podemos simplificar isso multiplicando ambos os lados por
:
Passo 5
Agora, vamos usar a equação do momento angular para substituir
. Da equação
, podemos isolar
:
Substituindo isso na equação da força:
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 6
Vamos agora calcular numericamente essa velocidade. Sabemos que:
-
C -
C²/(N·m²) -
J·s
Substituindo esses valores:
Resposta
A velocidade com que o elétron precisa orbitar o núcleo no estado fundamental é aproximadamente
. Comparando com a velocidade da luz (
), essa velocidade é cerca de 0,7% da velocidade da luz.