Dentro do formalismo do Modelo de Bohr para o átomo de hidrogênio, calcule a velocidade na qual o elétron precisa orbitar o núcleo do átomo para o átomo no estado fundamental, para o qual L=hbar. Como é que esta velocidade se compara com a velocidade da luz?

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício pede para usarmos o Modelo de Bohr para calcular a velocidade com que o elétron precisa orbitar o núcleo do átomo de hidrogênio no estado fundamental, onde o momento angular . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre o Modelo de Bohr, especialmente como ele relaciona o momento angular, a força centrípeta e a força eletrostática que mantém o elétron na órbita.

Passo 2

Primeiro, sabemos que no Modelo de Bohr, o momento angular L = me cdot v cdot r = hbar do elétron é quantizado e dado por:
Aqui, é a massa do elétron, é a velocidade orbital e é o raio da órbita.

Passo 3

Também, a força centrípeta necessária para manter o elétron em órbita é fornecida pela força eletrostática entre o elétron e o próton no núcleo. A força centrípeta é:
Fc = me cdot v^2r
E a força eletrostática é dada por:
Fe = e^24pivarepsilon0 r^2
Onde é a carga do elétron e é a constante de permissividade do vácuo.

Passo 4

No equilíbrio, essas duas forças são iguais:
me cdot v^2r = e^24pivarepsilon0 r^2
Podemos simplificar isso multiplicando ambos os lados por me cdot v^2 = e^24pivarepsilon0 r :

Passo 5

Agora, vamos usar a equação do momento angular para substituir r = hbarme cdot v . Da equação me cdot v^2 = e^24pivarepsilon0 cdot hbarme cdot v , podemos isolar me cdot v^2 = e^2 cdot me cdot v4pivarepsilon0 hbar :
v = e^24pivarepsilon0 hbar
Substituindo isso na equação da força:
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por :

Passo 6

Vamos agora calcular numericamente essa velocidade. Sabemos que:
  • v = (1,602 times 10^-19)^24pi times 8,854 times 10^-12 times 1,055 times 10^-34 approx 2,18 times 10^6 , m/s C
  • C²/(N·m²)
  • J·s
    Substituindo esses valores:

Resposta

A velocidade com que o elétron precisa orbitar o núcleo no estado fundamental é aproximadamente . Comparando com a velocidade da luz ( ), essa velocidade é cerca de 0,7% da velocidade da luz.

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