Considere um elétron livre descrito por: Psi(x)=A Sen(5,0 times 10^8 x), no qual x está em metros e A é constante. Determine a energia total do elétron em joules.
Considere: e=1,6 times 10^-19 C ;(1 eV=1,6 times 10^-19 J) ; c=3,0 times 10^8 m / s; h c=2,0 times 10^-25 J m=12400 eV AA.
l h c =2,0 times 10^-25 J m=12400 eV A h=6,62610^-34 J s ; hbar=1,054 times 10^-34 J s ; hbar^2 i 2 m=6,0 times 10^-39 J / m^2 (para o elétron) é

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar a energia total de um elétron livre descrito pela função de onda Psi(x) = A cdot Sen(5,0 times 10^8 x). Vamos usar conceitos de Mecânica Quântica, especificamente sobre partículas livres e energia associada a funções de onda. Para resolver isso, vamos precisar dos valores fornecidos das constantes físicas, como $ \hbar $ e $ \frac{\hbar^2}{2m} $.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função de onda dada: Psi(x) = A cdot Sen(5,0 times 10^8 x). Aqui, 5,0 times 10^8 representa o número de onda k, que está relacionado ao momento da partícula. A função seno indica que estamos lidando com uma partícula livre em uma dimensão.

Passo 3

A energia total de um elétron livre pode ser calculada usando a expressão da energia cinética na Mecânica Quântica:
E = hbar^2 k^22m
Onde:
  • $ \hbar $ é a constante de Planck reduzida.
  • $ k $ é o número de onda.
  • $ m $ é a massa do elétron.

Passo 4

Nos foi dado o valor de hbar^22m = 6,0 times 10^-39 , J/m^2. Vamos usar esse valor para simplificar nosso cálculo. Primeiro, precisamos calcular k^2:
k = 5,0 times 10^8 , m^-1 k^2 = (5,0 times 10^8)^2 = 25,0 times 10^16 , m^-2

Passo 5

Agora, substituímos os valores na fórmula da energia:
E = hbar^22m cdot k^2 = 6,0 times 10^-39 , J/m^2 times 25,0 times 10^16 , m^-2

Passo 6

Multiplicando os números:
E = 6,0 times 25,0 times 10^-39 + 16 = 150,0 times 10^-23 , J
Simplificando a notação científica:
E = 1,5 times 10^-21 , J

Resposta

A energia total do elétron é 1,5 times 10^-21 joules.

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