Considerando uma partícula movendo-se em uma dimensão sujeita a um poço de potencial com uma certa profundidade e uma uma certa largura. Apresente argumentos explicando por que cada uma das seguintes condições é favorável à ocorrência de estados ligados:
a) uma massa m grande;
b) um poço profundo;
c) um poço largo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de Física, mais especificamente de Mecânica Quântica, sobre uma partícula que se move em uma dimensão dentro de um poço de potencial. A questão quer que a gente explique por que certas condições ajudam a formar estados ligados, que são basicamente estados onde a partícula fica “presa” no poço. As condições que vamos analisar são: massa grande, poço profundo e poço largo. Para resolver isso, vamos precisar entender como a massa, a profundidade e a largura do poço influenciam a chance de ter estados ligados.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre a massa grande. Na Mecânica Quântica, a massa da partícula influencia sua função de onda e sua energia. Quanto maior a massa , menor é a energia cinética da partícula para um dado grau de liberdade. Isso significa que partículas mais pesadas têm menos tendência a “escapar” do poço, facilitando a formação de estados ligados.

Passo 3

Agora, vamos considerar um poço de potencial profundo. A profundidade do poço determina quanta energia é necessária para a partícula sair do poço. Um poço mais profundo significa que a energia necessária para a partícula escapar aumenta. Portanto, quanto mais profundo for o poço, mais fácil é para a partícula ficar presa, aumentando a probabilidade de existir estados ligados.

Passo 4

Por fim, vamos analisar a largura do poço. A largura do poço afeta a quantidade de espaço onde a partícula pode se mover. Um poço mais largo permite que a partícula tenha uma função de onda mais espalhada dentro do poço, o que reduz a energia cinética média devido à menor variação espacial. Com menor energia cinética, a partícula tem menos chance de escapar, o que favorece a formação de estados ligados.

Resposta

Então, resumindo:
a) Uma massa grande reduz a energia cinética da partícula, facilitando sua permanência no poço.
b) Um poço profundo aumenta a energia necessária para a partícula escapar, tornando mais fácil a formação de estados ligados.
c) Um poço largo permite que a partícula tenha uma função de onda mais espalhada, diminuindo sua energia cinética e favorecendo estados ligados.

Exercícios relacionados

Considere uma partícula de massa m em movimento unidimensional sujeita ao potencial parabólico
V(x)=m omega0^22 x^2
onde omega0 é a frequiência angular natural de oscilação.
a) A partir dos parâmetros m, omega0 e hbar que caracterizam o problema do oscilador harmônico em mecânica quântica, determine os valores típicos de energia, distância (l0) e momento linear (p0).
b) Escreva a equação de Schrödinger independente do tempo que uma auto-função varphi(x) deve satisfazer.
c) Para uma energia E, determine quais seriam os pontos de retorno clássicos para a nossa partícula.
d) O que acontece com a curvatura da função de onda varphi(x) quando a variável x cruza o ponto de retorno?
e) Explique por que uma função de onda varphi(x) que represente um estado fisicamente aceitável deve ir a zero quando |x| infty.
f) Explique que a quantização da energia decorre da condição de contorno do item e), ou seja, ao confinamento da partícula.
g) Introduza a variável adimensional
u=x / l0
onde l0 foi determinado em a) acima e faça
varphi(x)=phi(u)
Então reescreva a equação de Schrödinger em termos da função phi(u) e sua derivada segunda para encontrar a equação limpa de parâmetros,
-d^2 phid u^2(u)+u^2 phi(u)=2 epsilon phi(u)
onde
epsilon=Ehbar omega0
h) Mostre que para u>>1, epsilon, temos
phi(u) sim e^-u^2 / 2
i) Mostre que
phi0(u)=N0 e^-u^2 / 2
onde N0 é uma constante, é solução da equação (4) desde que epsilon=1 / 2. Com isto temos que
varphi0(x)=phi(x / l0)=N0 e^-x^2 /(2 l0^2)
é uma solução sem nodos da equação de Schrödinger com energia E=hbar omega0 / 2. Impondo a condição de normalização,
integral-infty^infty|varphi0(x)|^2 d x=1
determine a constante N0.
j) Baseado no princípio da incerteza, discuta porque a energia do estado fundamental é maior do que o valor mínimo da energia potencial?
l) Repita o item i), mas agora considerando a função ímpar
phi1(u)=N1 u e^-u^2 / 2
e determine para qual valor de epsilon, phi1(u) será solução de (4).
m) De modo geral, podemos encontrar as auto-funções do problema do oscilador harmônico, considerando funções da forma
phin(u)=Nn Hn(u) e^-u^2 / 2
onde Nn é uma constante, Hn(u) é um polinômio de grau n só com potências pares se n for par e só com potências ímpares se n for ímpar. A partir da Eq. (8), obtenha a segunda derivada em u de phin(u) em termos de Hn(u) e suas derivadas. Substitua na equação (4) e encontre a equação diferencial abaixo para o polinômio Hn,
-d^2 Hnd u^2+2 u d Hnd u+Hn=2 epsilon Hn
Escrevendo
Hn(u)=sumr=0, r^n ar u^r
com a0=1, ou
Hn(u)=sumr=1, r^n a impar u^r
com a1=1, veja que equação (9) nos permite determinar tanto a energia epsilon, quanto os coeficientes do polinômio. Quando examinamos o lado esquerdo da Eq. (9), vemos que apenas o segundo e o terceiro termos possuem a potência mais alta, u^n. Mostre que o coeficiente de u^n no lado esquerdo de (9) será igual a
2 n an+an
enquanto do lado direito de (9), o coeficiente de u^n será igual a 2 epsilon an. Igualando estes dois coeficientes, obtemos
2 epsilon=2 n+1
ou seja
epsilon=n+1 / 2
Essa análise é valida tanto para n par quanto para n ímpar, logo encontramos o espectro de energias do oscilador harmônico unidimensional
En=hbar omega0(n+12), n=0,1,2,3, ldots
Temos um espectro de energias discretas igualmente espaçadas por hbar omega0.
Considere um elétron em movimento unidimensional submetido ao poço de potencial com largura L e profundidade V0, simétrico em relação à posição x=0. Ao investigar os estados ligados ímpares, determine:
a) a condição para haver pelo menos um estado excitado ligado ao poço de potencial (com energia entre -V0 e 0 ).
b) a energia do primeiro estado excitado (é o estado ímpar de menor energia) dentro do poço de potencial quando
V0=4 pi^2 hbar^22 m L^2
e
L=5,29 nm
Obtenha a solução graficamente.
c) a probabilidade do elétron no primeiro estado excitado ser encontrado em uma posição x tal que |x|>L / 2, ou seja, fora do poço.
d) Para a mesma largura e mesma profundidade, quantos estados ligados existiriam (pares e ímpares) se a partícula fosse o prótron ao invés do elétron?
Derive.
y=sen^2(e^sen^2(x)).
Considere o poço de potencial 1D de altura infinita e largura L. Obtenha seus auto-estados, suas energias e determine a constante de normalização para cada auto-estado.