Considerando uma partícula movendo-se em uma dimensão sujeita a um poço de potencial com uma certa profundidade e uma uma certa largura. Apresente argumentos explicando por que cada uma das seguintes condições é favorável à ocorrência de estados ligados:
a) uma massa
grande;
b) um poço profundo;
c) um poço largo.
a) uma massa
b) um poço profundo;
c) um poço largo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de Física, mais especificamente de Mecânica Quântica, sobre uma partícula que se move em uma dimensão dentro de um poço de potencial. A questão quer que a gente explique por que certas condições ajudam a formar estados ligados, que são basicamente estados onde a partícula fica “presa” no poço. As condições que vamos analisar são: massa grande, poço profundo e poço largo. Para resolver isso, vamos precisar entender como a massa, a profundidade e a largura do poço influenciam a chance de ter estados ligados.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre a massa grande. Na Mecânica Quântica, a massa da partícula influencia sua função de onda e sua energia. Quanto maior a massa
, menor é a energia cinética da partícula para um dado grau de liberdade. Isso significa que partículas mais pesadas têm menos tendência a “escapar” do poço, facilitando a formação de estados ligados.
Passo 3
Agora, vamos considerar um poço de potencial profundo. A profundidade do poço
determina quanta energia é necessária para a partícula sair do poço. Um poço mais profundo significa que a energia necessária para a partícula escapar aumenta. Portanto, quanto mais profundo for o poço, mais fácil é para a partícula ficar presa, aumentando a probabilidade de existir estados ligados.
Passo 4
Por fim, vamos analisar a largura do poço. A largura
do poço afeta a quantidade de espaço onde a partícula pode se mover. Um poço mais largo permite que a partícula tenha uma função de onda mais espalhada dentro do poço, o que reduz a energia cinética média devido à menor variação espacial. Com menor energia cinética, a partícula tem menos chance de escapar, o que favorece a formação de estados ligados.
Resposta
Então, resumindo:
a) Uma massa grande reduz a energia cinética da partícula, facilitando sua permanência no poço.
b) Um poço profundo aumenta a energia necessária para a partícula escapar, tornando mais fácil a formação de estados ligados.
c) Um poço largo permite que a partícula tenha uma função de onda mais espalhada, diminuindo sua energia cinética e favorecendo estados ligados.
Exercícios relacionados
Considere uma partícula de massa
em movimento unidimensional sujeita ao potencial parabólico
onde
é a frequiência angular natural de oscilação.
a) A partir dos parâmetros e
que caracterizam o problema do oscilador harmônico em mecânica quântica, determine os valores típicos de energia, distância
e momento linear
.
b) Escreva a equação de Schrödinger independente do tempo que uma auto-função deve satisfazer.
c) Para uma energia , determine quais seriam os pontos de retorno clássicos para a nossa partícula.
d) O que acontece com a curvatura da função de onda quando a variável
cruza o ponto de retorno?
e) Explique por que uma função de onda que represente um estado fisicamente aceitável deve ir a zero quando
.
f) Explique que a quantização da energia decorre da condição de contorno do item e), ou seja, ao confinamento da partícula.
g) Introduza a variável adimensional
a) A partir dos parâmetros
b) Escreva a equação de Schrödinger independente do tempo que uma auto-função
c) Para uma energia
d) O que acontece com a curvatura da função de onda
e) Explique por que uma função de onda
f) Explique que a quantização da energia decorre da condição de contorno do item e), ou seja, ao confinamento da partícula.
g) Introduza a variável adimensional
onde
foi determinado em a) acima e faça
Então reescreva a equação de Schrödinger em termos da função
e sua derivada segunda para encontrar a equação limpa de parâmetros,
onde
h) Mostre que para
, temos
i) Mostre que
onde
é uma constante, é solução da equação (4) desde que
. Com isto temos que
é uma solução sem nodos da equação de Schrödinger com energia
. Impondo a condição de normalização,
determine a constante
.
j) Baseado no princípio da incerteza, discuta porque a energia do estado fundamental é maior do que o valor mínimo da energia potencial?
l) Repita o item i), mas agora considerando a função ímpar
j) Baseado no princípio da incerteza, discuta porque a energia do estado fundamental é maior do que o valor mínimo da energia potencial?
l) Repita o item i), mas agora considerando a função ímpar
e determine para qual valor de
será solução de (4).
m) De modo geral, podemos encontrar as auto-funções do problema do oscilador harmônico, considerando funções da forma
m) De modo geral, podemos encontrar as auto-funções do problema do oscilador harmônico, considerando funções da forma
onde
é uma constante,
é um polinômio de grau
só com potências pares se
for par e só com potências ímpares se
for ímpar. A partir da Eq. (8), obtenha a segunda derivada em
de
em termos de
e suas derivadas. Substitua na equação (4) e encontre a equação diferencial abaixo para o polinômio
,
Escrevendo
com
, ou
com
, veja que equação (9) nos permite determinar tanto a energia
, quanto os coeficientes do polinômio. Quando examinamos o lado esquerdo da Eq. (9), vemos que apenas o segundo e o terceiro termos possuem a potência mais alta,
. Mostre que o coeficiente de
no lado esquerdo de (9) será igual a
enquanto do lado direito de (9), o coeficiente de
será igual a
. Igualando estes dois coeficientes, obtemos
ou seja
Essa análise é valida tanto para
par quanto para
ímpar, logo encontramos o espectro de energias do oscilador harmônico unidimensional
Temos um espectro de energias discretas igualmente espaçadas por
.
Considere um elétron em movimento unidimensional submetido ao poço de potencial com largura
e profundidade
, simétrico em relação à posição
. Ao investigar os estados ligados ímpares, determine:
a) a condição para haver pelo menos um estado excitado ligado ao poço de potencial (com energia entre e 0
.
b) a energia do primeiro estado excitado (é o estado ímpar de menor energia) dentro do poço de potencial quando
a) a condição para haver pelo menos um estado excitado ligado ao poço de potencial (com energia entre
b) a energia do primeiro estado excitado (é o estado ímpar de menor energia) dentro do poço de potencial quando
e
Obtenha a solução graficamente.
c) a probabilidade do elétron no primeiro estado excitado ser encontrado em uma posição tal que
, ou seja, fora do poço.
d) Para a mesma largura e mesma profundidade, quantos estados ligados existiriam (pares e ímpares) se a partícula fosse o prótron ao invés do elétron?
c) a probabilidade do elétron no primeiro estado excitado ser encontrado em uma posição
d) Para a mesma largura e mesma profundidade, quantos estados ligados existiriam (pares e ímpares) se a partícula fosse o prótron ao invés do elétron?
Derive.
.
Considere o poço de potencial 1D de altura infinita e largura
. Obtenha seus auto-estados, suas energias e determine a constante de normalização para cada auto-estado.