Considere a elipse
. Determine todos os pontos
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a equação de uma elipse:
. Nosso objetivo aqui é encontrar todos os pontos
que estão nessa elipse. Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre elipses, e vamos precisar entender como manipular equações para isolar uma das variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação da elipse. A forma geral da equação de uma elipse é
, onde
é o centro da elipse, e
e
são os semi-eixos maior e menor, respectivamente. No nosso caso, temos
,
,
e
.
Passo 3
Agora, para encontrar todos os pontos
da elipse, podemos expressar
em função de
ou vice-versa. Vamos resolver para
em termos de
.
Começamos isolando a fração que contém
:
Passo 4
Multiplicando ambos os lados da equação por 9 para eliminar o denominador:
Passo 5
Agora, vamos tirar a raiz quadrada de ambos os lados para resolver para
:
Passo 6
Finalmente, isolando
:
Isso nos dá todas as soluções para
em termos de
. Portanto, para qualquer valor de
que satisfaça a expressão dentro da raiz (ou seja,
), teremos dois valores de
correspondentes, um com o sinal positivo e outro com o negativo.
Resposta
Todos os pontos
da elipse são dados por: