Considere a elipse x^2/4 + (y-1)^2/9 = 1. Determine todos os pontos (x,y)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a equação de uma elipse: x^2/4 + (y-1)^2/9 = 1. Nosso objetivo aqui é encontrar todos os pontos (x, y) que estão nessa elipse. Para isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre elipses, e vamos precisar entender como manipular equações para isolar uma das variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação da elipse. A forma geral da equação de uma elipse é , onde é o centro da elipse, e a e b são os semi-eixos maior e menor, respectivamente. No nosso caso, temos , k=1, e .

Passo 3

Agora, para encontrar todos os pontos (x, y) da elipse, podemos expressar y em função de x ou vice-versa. Vamos resolver para y em termos de x.
Começamos isolando a fração que contém y:

Passo 4

Multiplicando ambos os lados da equação por 9 para eliminar o denominador:

Passo 5

Agora, vamos tirar a raiz quadrada de ambos os lados para resolver para :

Passo 6

Finalmente, isolando y:
Isso nos dá todas as soluções para y em termos de x. Portanto, para qualquer valor de x que satisfaça a expressão dentro da raiz (ou seja, ), teremos dois valores de y correspondentes, um com o sinal positivo e outro com o negativo.

Resposta

Todos os pontos (x, y) da elipse são dados por:

Exercícios relacionados