Considere a função y = log2((x^2 + 1) / raiz(x^2 - 4))
(a) Determine y'.
(b) Determine o domínio de y'.

Passo 1

Então, a gente tem a função . O que a gente precisa fazer aqui é calcular a derivada dessa função, que é , e também descobrir qual é o domínio dessa derivada. Para resolver isso, vamos usar conceitos de derivadas de funções logarítmicas e regras de derivação como a regra da cadeia e a regra do quociente.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a derivação. Sabemos que , então podemos reescrever da seguinte forma:
Como é uma constante, podemos simplificar a derivada focando na parte do logaritmo natural.

Passo 3

Agora, vamos derivar em relação a . Usaremos a regra da cadeia para derivar a função logarítmica:
A derivada de é , onde .

Passo 4

Vamos calcular . Primeiro, reescrevemos como:
Agora, aplicamos a regra do quociente:
Simplificando:

Passo 5

Agora, simplificamos a expressão de :
Distribuindo os termos:
Simplificando ainda mais:

Passo 6

Agora, voltamos à derivada de :
Substituindo e :
Simplificando a fração:

Passo 7

Agora, vamos determinar o domínio de . Para que esteja definida, o denominador não pode ser zero e os termos dentro das raízes devem ser positivos.
Primeiro, para que a expressão original esteja definida, ou seja, .
Além disso, o denominador de é . Como é sempre positivo, precisamos apenas garantir que , o que já está coberto por .
Portanto, o domínio de é:

Resposta

(a) A derivada da função é:
(b) O domínio de é:

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