Considere a função
(a) Determine
.
(b) Determine o domínio de
.
(a) Determine
(b) Determine o domínio de
Passo 1
Então, a gente tem a função
. O que a gente precisa fazer aqui é calcular a derivada dessa função, que é
, e também descobrir qual é o domínio dessa derivada. Para resolver isso, vamos usar conceitos de derivadas de funções logarítmicas e regras de derivação como a regra da cadeia e a regra do quociente.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a derivação. Sabemos que
, então podemos reescrever
da seguinte forma:
Como
é uma constante, podemos simplificar a derivada focando na parte do logaritmo natural.
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação a
. Usaremos a regra da cadeia para derivar a função logarítmica:
A derivada de
é
, onde
.
Passo 4
Vamos calcular
. Primeiro, reescrevemos
como:
Agora, aplicamos a regra do quociente:
Simplificando:
Passo 5
Agora, simplificamos a expressão de
:
Distribuindo os termos:
Simplificando ainda mais:
Passo 6
Agora, voltamos à derivada de
:
Substituindo
e
:
Simplificando a fração:
Passo 7
Agora, vamos determinar o domínio de
. Para que
esteja definida, o denominador não pode ser zero e os termos dentro das raízes devem ser positivos.
Primeiro,
para que a expressão original esteja definida, ou seja,
.
Além disso, o denominador de
é
. Como
é sempre positivo, precisamos apenas garantir que
, o que já está coberto por
.
Portanto, o domínio de
é:
Resposta
(a) A derivada da função é:
(b) O domínio de
é:
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Um pedestre de
caminha em direção a um poste de luz de
de altura, a uma velocidade de
. Encontre a velocidade com que sua sombra varia de ângulo quando ele está a 10 m do poste.
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(a) .
(a)
Encontre
se
.
Considere a elipse
. Determine todos os pontos