Encontre y' se x sen(x+y) = y^2 cos(x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação que relaciona e : . O conteúdo aqui é Cálculo Diferencial, especificamente derivadas implícitas. Para achar (a derivada de em relação a ), vamos precisar aplicar a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a . Isso significa que vamos aplicar a derivada em cada termo da equação.

Passo 3

Diferenciando o lado esquerdo , usamos a regra do produto:
A derivada de é 1, então fica:
Aqui, usamos a regra da cadeia para derivar , onde a derivada de é .

Passo 4

Agora, diferenciamos o lado direito . Novamente, usamos a regra do produto:
A derivada de é e a derivada de é , então fica:

Passo 5

Agora, igualamos as duas partes diferenciadas:

Passo 6

Vamos isolar os termos com . Primeiro, expandimos o lado esquerdo:

Passo 7

Reunimos todos os termos com de um lado e os outros do outro:

Passo 8

Fatoramos no lado esquerdo:

Passo 9

Finalmente, isolamos dividindo ambos os lados pela expressão que está multiplicando :

Resposta

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